Водном сосуде 1554 литра воды,другой пустой.из первого сосуда переливают ½ воды во второй, затем из второго переливают ⅓ воды в первый, затем из первого переливают ¼ во второй и так далее. сколько литров воды будет в первом сосуде после 2019-го переливания.
777 литра
Пошаговое объяснение:
Пусть в 1-сосуде Х литр воды, а во 2-сосуде 0 литр воды.
1-переливание. Переливаем с 1-сосуда во 2-сосуд:
1-сосуд:![X-\frac{X}{2} = \frac{2*X}{2}-\frac{X}{2} =\frac{X}{2}](/tpl/images/1037/4119/60f9c.png)
2-сосуд:![0+\frac{X}{2} = \frac{X}{2}](/tpl/images/1037/4119/495bb.png)
Объем воды в обоих сосудах в сумме дают Х литр!
2-переливание. Переливаем со 2-сосуда в 1-сосуд:
1-сосуд:![\frac{X}{2}+\frac{X}{2}:3=\frac{3*X}{6}+\frac{X}{6}=\frac{4*X}{6}=\frac{2*X}{3}](/tpl/images/1037/4119/383c7.png)
2-сосуд:![\frac{X}{2}-\frac{X}{2}:3=\frac{3*X}{6}-\frac{X}{6}=\frac{2*X}{6}=\frac{X}{3}](/tpl/images/1037/4119/cb52e.png)
Объем воды в обоих сосудах в сумме дают Х литр!
3-переливание. Переливаем с 1-сосуда во 2-сосуд:
1-сосуд:![\frac{2*X}{3}-\frac{2*X}{3}:4=\frac{8*X}{12}-\frac{2*X}{12}=\frac{6*X}{12}=\frac{X}{2}](/tpl/images/1037/4119/9cd9e.png)
Так как, объем воды в обоих сосудах в сумме дают Х литр, то
2-сосуд:![\frac{X}{2}](/tpl/images/1037/4119/3b75b.png)
Теперь покажем, что в нечётных числах переливания всегда
1-сосуд:![\frac{X}{2}](/tpl/images/1037/4119/3b75b.png)
2-сосуд:![\frac{X}{2}](/tpl/images/1037/4119/3b75b.png)
Пусть n=2·k+1.
n-переливание. Переливаем с 1-сосуда во 2-сосуд:
1-сосуд:![\frac{X}{2}](/tpl/images/1037/4119/3b75b.png)
2-сосуд:![\frac{X}{2}](/tpl/images/1037/4119/3b75b.png)
(n+1)-переливание. Переливаем со 2-сосуда в 1-сосуд:
1-сосуд:![\frac{X}{2}+\frac{X}{2}:(n+2)=\frac{(n+2)*X}{2*(n+2)}+\frac{X}{2*(n+2)}=\frac{(n+2)*X+X}{2*(n+2)}=\frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}](/tpl/images/1037/4119/c1e23.png)
2-сосуд:![\frac{X}{2}-\frac{X}{2}:(n+2)=\frac{X*(n+2)}{2*(n+2)}-\frac{X}{2*(n+2)}=\frac{X*(n+1)}{2*(n+2)}](/tpl/images/1037/4119/0a0c4.png)
(n+2)-переливание. Переливаем с 1-сосуда во 2-сосуд:
1-сосуд:![\frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}-\frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}:(n+3)=\frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}-\frac{(n+3)*X}{2*(n+2)*(n+3)}=\frac{(n+3)*X}{2*(n+2)}-\frac{X}{2*(n+2)}=\frac{(n+3)*X-X}{2*(n+2)}=\frac{(n+2)*X}{2*(n+2)}=\frac{X}{2}](/tpl/images/1037/4119/fd0c7.png)
Так как, объем воды в обоих сосудах в сумме дают Х литр, то
2-сосуд:![\frac{X}{2}](/tpl/images/1037/4119/3b75b.png)
что требовалось показать.
Отсюда, 2019 - нечётное и X=1554 литра, тогда
1-сосуд:![\frac{1554}{2}=777](/tpl/images/1037/4119/da8d8.png)