Вправильной треугольной пирамиде sabc (с вершиной s) сторона основания равна 3, а боковое ребро √10. точка m - середина sb. найдите угол между прямой am и плоскостью abc. ответ должен получиться 30°.
Высота h основания равна: h = а√3/2 = 3√3/2. Проекция бокового ребра на основание равна (2/3)h = √3. Высота пирамиды Н = √((√10)² - (√3)²) = √(10 - 3) = √7. Расстояние точки М от основания равно половине высоты пирамиды: МК = √7/2. Проекция АК отрезка АМ на основание равна: АК = √((3/4)*3)² + (√3/4)²) = √((81/16) + (3/16)) = √84/4 = √21/2. Отсюда находим угол α наклона отрезка АМ к плоскости АВС. tg α = МК/АК = (√7/2)/(√21/2) = √(7/21) = 1/√3. Угол α равен 0,523599 радиан или 30°.
Эту же задачу можно решить векторным Примем начало координат в точке А, ось Оу по стороне АВ. Координаты точек: А(0; 0; 0), М((√3/4); (9/4); (√7/2)), К((√3/4); (9/4); 0). Вектор АМ:((√3/4); (9/4); (√7/2)), вектор АК: ((√3/4); (9/4); 0). Модули их равны: АМ = √7 ≈ 2,645751 АК = √5,25 ≈ 2,291288. cos α = ((3/16) + (81/16))/(√7*√(21/4)) = (21/4)/(7√3/2) = √3/2. α = arc cos(√3/2) = 30°.
Проекция бокового ребра на основание равна (2/3)h = √3.
Высота пирамиды Н = √((√10)² - (√3)²) = √(10 - 3) = √7.
Расстояние точки М от основания равно половине высоты пирамиды:
МК = √7/2.
Проекция АК отрезка АМ на основание равна:
АК = √((3/4)*3)² + (√3/4)²) = √((81/16) + (3/16)) = √84/4 = √21/2.
Отсюда находим угол α наклона отрезка АМ к плоскости АВС.
tg α = МК/АК = (√7/2)/(√21/2) = √(7/21) = 1/√3.
Угол α равен 0,523599 радиан или 30°.
Эту же задачу можно решить векторным
Примем начало координат в точке А, ось Оу по стороне АВ.
Координаты точек:
А(0; 0; 0), М((√3/4); (9/4); (√7/2)), К((√3/4); (9/4); 0).
Вектор АМ:((√3/4); (9/4); (√7/2)), вектор АК: ((√3/4); (9/4); 0).
Модули их равны:
АМ = √7 ≈ 2,645751
АК = √5,25 ≈ 2,291288.
cos α = ((3/16) + (81/16))/(√7*√(21/4)) = (21/4)/(7√3/2) = √3/2.
α = arc cos(√3/2) = 30°.