пусть для какого-то i верно, что 1+2+4+8+...+2^i=2^(i+1)-1
тогда 1+2+4+8+...+2^i+2^(i+1)=2^(i+1)+2^(i+1)-1=2^(i+2)-1
ч.т.д.
Теперь заметим, что если у нас есть 2^101 монет, то нам потребуется 101 взвешивание т.к. за 1 взвешивание мы отсекаем не больше половины монет.
Теперь заметим, как мы сможем взвесить 2^100+2^99+2^98++2+1
Взвесим первые 2^100 монет, разбив их на 2 кучки.
Если кучки весят одинаково(все монеты настоящие), то берем следующие 2^99, 2^98, и т.д.
Если первые 2+4+8+...2^100 монет настоящие, то последняя монета - фальшивая. пусть на i шаге нашлась кучка из 2^(100-i) монет, среди которых есть ненастоящяя. тогда у нас есть еще (100-i) взвешиваний, и мы сможем определить фальшивую монету.
НУ я ДеВочка а прИдУмывАю зА МалЬчИкА Мы с Сережкой - лучшие друзья! И, конечно, все приключения у нас на двоих. Однажды, когда я пришел к нему в гости, мы решили отправиться в большое космическое путешествие. Из конструктора, стульев, большого пледа мы соорудили ракету. Попросили маму сделать нам бутербродов, ведь полет - дело долгое. С собой взяли Рекса, собаку Сережи. Рекс - очень смелый и сильный пес, он всегда сможет в сложной ситуации! И вот долгожданный старт! "Поехали!"-закричали мы, и ракета нас понесла ввысь. Наша цель - Луна! Уж как нам хотелось с Сережкой познакомиться с лунатиками. Интересно, как они живут? Какие у них города? А в школе тоже много уроков задают? Какие у них любимые игры?Наш полет проходил нормально, до луны оставалось совсем немножко, буквально несколько минут, но тут мы услышали странный скрип. Проверили приборы, всё было в норме. Что же это звук? Оказывается, это мама Сережи открыла дверь и позвала нас обедать. Пришлось прервать наше удивительное приключение. Но ничего страшного! У нас еще вся жизнь впереди. Может, в будущем мы даже совершим настоящий полет на Луну. Главное - верить в свою мечту!
Лемма ученика 57 школы: 1+2+4+8+...+2^n= 2^(n+1)-1
Докажем по индукции:
База:
1 = 2-1
1+2 = 3 = 4-1
Шаг:
пусть для какого-то i верно, что 1+2+4+8+...+2^i=2^(i+1)-1
тогда 1+2+4+8+...+2^i+2^(i+1)=2^(i+1)+2^(i+1)-1=2^(i+2)-1
ч.т.д.
Теперь заметим, что если у нас есть 2^101 монет, то нам потребуется 101 взвешивание т.к. за 1 взвешивание мы отсекаем не больше половины монет.
Теперь заметим, как мы сможем взвесить 2^100+2^99+2^98++2+1
Взвесим первые 2^100 монет, разбив их на 2 кучки.
Если кучки весят одинаково(все монеты настоящие), то берем следующие 2^99, 2^98, и т.д.
Если первые 2+4+8+...2^100 монет настоящие, то последняя монета - фальшивая. пусть на i шаге нашлась кучка из 2^(100-i) монет, среди которых есть ненастоящяя. тогда у нас есть еще (100-i) взвешиваний, и мы сможем определить фальшивую монету.
По лемме ученика 57 школы 1+2++2^100= 2^101-1
а 2^101 монет быть не может.
ответ:2^101-1
Мы с Сережкой - лучшие друзья! И, конечно, все приключения у нас на двоих. Однажды, когда я пришел к нему в гости, мы решили отправиться в большое космическое путешествие.
Из конструктора, стульев, большого пледа мы соорудили ракету. Попросили маму сделать нам бутербродов, ведь полет - дело долгое. С собой взяли Рекса, собаку Сережи. Рекс - очень смелый и сильный пес, он всегда сможет в сложной ситуации! И вот долгожданный старт! "Поехали!"-закричали мы, и ракета нас понесла ввысь. Наша цель - Луна! Уж как нам хотелось с Сережкой познакомиться с лунатиками. Интересно, как они живут? Какие у них города? А в школе тоже много уроков задают? Какие у них любимые игры?Наш полет проходил нормально, до луны оставалось совсем немножко, буквально несколько минут, но тут мы услышали странный скрип. Проверили приборы, всё было в норме. Что же это звук? Оказывается, это мама Сережи открыла дверь и позвала нас обедать. Пришлось прервать наше удивительное приключение. Но ничего страшного! У нас еще вся жизнь впереди. Может, в будущем мы даже совершим настоящий полет на Луну. Главное - верить в свою мечту!