Втра­пе­ции  abcd  известно, что  ad  =  6,  bc  =  4, а её пло­щадь равна 80. най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции  bcnm, где  mn  – сред­няя линия тра­пе­ции  abcd.

ответ:  180.  

Вот формула площади трапеции:

, где a и b - основания трапеции, а h - высота (S, разумеется, площадь).

Вот только одна проблема: мы не знаем высоты. Но чтобы ее узнать, можно отсечь от трапеции (например, справа) прямоугольный треугольник. Его гипотенуза (c)- это боковая сторона трапеции, которая равна 13. Нижний катет (b) будет равен . Почему - можно увидеть на рисунке ниже. Второй катет этого треугольника (а) - это и есть высота, которую можно найти по теореме Пифагора:  

Теперь высоту мы знаем и можем найти площадь трапеции:

Задача решена!

5с + 4d = 33
5с < 33; с ∈ (1; 6).
1) Предположим, что с = 6, тогда:
5 * 6 = 30
33 - 30 = 3
Так как d - натуральное число, то 4d ≠ 3. Значит, с ≠ 6.
2) Предположим, что с = 5, тогда:
5 * 5 = 25
33 - 25 = 8
4d = 8
d = 8 : 4
d = 2 - удовлетворяет условию задачи.
3) Предположим, что с = 4, тогда:
5 * 4 = 20
33 - 20 = 13
Так как d - натуральное число, то 4d ≠ 13. Значит, с ≠ 4.
4) Предположим, что с = 3, тогда:
5 * 3 = 15
33 - 15 = 18
Так как d - натуральное число, то 4d ≠ 18. Значит, с ≠ 3.
5) Предположим, что с = 2, тогда:
5 * 2 = 10
33 - 10 = 23
Так как d - натуральное число, то 4d ≠ 23. Значит, с ≠ 2.
6) Предположим, что с = 1, тогда:
5 * 1 = 5
33 - 5 = 28
4d = 28
d = 28 : 4
d = 7 - удовлетворяет условию задачи.
ответ: d = 2 или d = 7.