1)Ясно, что n = p и n = 2p при удовлетворяют условию, так как (n – 1)! не делится на p².
Легко видеть также, что 7! и 8! не могут делиться на 8² и 9² соответственно.
Докажем, что для остальных nчисло (n – 1)! делится на n². Пусть nимеет хотя бы два различных делителя. Среди чисел 1, ..., n – 1 есть хотя бы n/p – 1 число, кратное p. Если некоторое число p входит в разложения числа n в степени k, то n/p – 1 ≥ 2pk–1 – 1 ≥ 2k – 1 ≥ 2k – 1. Если n не имеет вид 2p, то хотя бы одно из написанных неравенств – строгое. Значит, n/p – 1 ≥ 2k и (n – 1)! делится на p2k. Поскольку это верно при всех p, то (n – 1)! делится на n².
Пусть теперь n = pk. Тогда n/p – 1 = pk–1 – 1. При p ≥ 5, либо p = 3 и k ≥ 3, либо p = 2 и k ≥ 5, это число не меньше 2k. Значит, (n – 1)! делится на n².
1)Ясно, что n = p и n = 2p при удовлетворяют условию, так как (n – 1)! не делится на p².
Легко видеть также, что 7! и 8! не могут делиться на 8² и 9² соответственно.
Докажем, что для остальных nчисло (n – 1)! делится на n². Пусть nимеет хотя бы два различных делителя. Среди чисел 1, ..., n – 1 есть хотя бы n/p – 1 число, кратное p. Если некоторое число p входит в разложения числа n в степени k, то n/p – 1 ≥ 2pk–1 – 1 ≥ 2k – 1 ≥ 2k – 1. Если n не имеет вид 2p, то хотя бы одно из написанных неравенств – строгое. Значит, n/p – 1 ≥ 2k и (n – 1)! делится на p2k. Поскольку это верно при всех p, то (n – 1)! делится на n².
Пусть теперь n = pk. Тогда n/p – 1 = pk–1 – 1. При p ≥ 5, либо p = 3 и k ≥ 3, либо p = 2 и k ≥ 5, это число не меньше 2k. Значит, (n – 1)! делится на n².
Случай n = 16 разбирается непосредственно.
Пошаговое объяснение:
Не забудь подписку и сердичку
13 целых 13/144
5 - 2 1 9 = 5 - 2 - 1 9 = 3 - 1 9 = 3·9 9 - 1 9 = 27 9 - 1 9 = 27 - 1 9 = 26 9 = 2·9 + 8 9 = 2 8 9
1 1 2 - 1 6 = 1 + 1·2 2 - 1 6 = 3 2 - 1 6 = 3·3 2·3 - 1·1 6·1 = 9 6 - 1 6 = 9 - 1 6 = 8 6 = 4 · 2 3 · 2 = 4 3 = 1·3 + 1 3 = 1 1 3
2 1 6 + 3 3 4 = 5 + 1 6 + 3 4 = 5 + 1 · 2 6 · 2 + 3 · 3 4 · 3 = 5 + 2 12 + 9 12 = 5 + 2 + 9 12 = 5 + 11 12 = 5 11 12
2 8 9 ÷1 1 3 = 8 + 2·9 9 ÷ 1 + 1·3 3 = 26 9 ÷ 4 3 = 26 9 × 3 4 = 26·3 9·4 = 78 36 = 13 · 6 6 · 61 12 + 1 8 = 5 + 11 12 + 1 8 = 5 + 11 · 2 12 · 2 + 1 · 3 8 · 3 = 5 + 22 24 + 3 24 = 5 + 22 + 3 24 = 5 + 25 24 = 5 + 1·24 + 1 24 = 6 1 24 = 13 6 = 2·6 + 1 6 = 2 1 6
5 11 12 + 1 8 = 5 + 11 12 + 1 8 = 5 + 11 · 2 12 · 2 + 1 · 3 8 · 3 = 5 + 22 24 + 3 24 = 5 + 22 + 3 24 = 5 + 25 24 = 5 + 1·24 + 1 24 = 6 1 24
2 1 6 ×6 1 24 = 1 + 2·6 6 × 1 + 6·24 24 = 13 6 × 145 24 = 13·145 6·24 = 1885 144 = 13·144 + 13 144 = 13 13 144
(объяснение)