Вычислить длину дуги кривой при интеграла

$\sqrt{ \frac{x}{a} } + \sqrt{ \frac{y}{b} } = 1$

Показать ответ

Ответ:

Likable2009

08.09.2020 17:51

Пусть $a,\:b 0$ Тогда $x,\:y 0$ . Также, т.к. корень - число неотрицательное, то $\sqrt{\dfrac{x}{a}}\leq 1\to x\leq a\\ \sqrt{\dfrac{y}{b}}\leq 1\to y\leq b$ .

Теперь заменим на противоположное число . Заметим, что теперь $-a\leq x\leq 0$ и каждому значению функции, соответствующее каждому значению аргумента, соответствует противоположный аргумент. Проведя аналогичные действия для , заметим, что изменение знака параметров на противоположные лишь отображает график относительно координатных осей, но не меняют длину кривой. Тогда достаточно найти длину кривой для положительных a, b , а затем в получившейся формуле заменить на |a| , на |b| .

Теперь запишем параметрическое задание функции.

Пусть x=asin^4t . Тогда $sin^2t+\sqrt{\dfrac{y}{b}}=sin^2t+cos^2t\to y=bcos^4t$ , $t\in[0;\dfrac{\pi}{2}]$ .

$x'_t=4asin^3tcost\\ y'_t=-4bcos^3tsint$

Вычисление длины кривой на фото 1 и 2. На 3 фото вычисление вс интеграла.

Теперь остается лишь подставить модули параметров. Получаем $L=\dfrac{a^2b^2}{(\sqrt{a^2+b^2})^3}ln|\dfrac{|a|+|b|+\sqrt{a^2+b^2}}{|a|+|b|-\sqrt{a^2+b^2}}|+\dfrac{|a|^3+|b|^3}{a^2+b^2}$

$Вычислить длину дуги кривой при интеграла [tex] \sqrt{ \frac{x}{a} } + \sqrt{ \frac{y}{b} } = 1[/tex$
$Вычислить длину дуги кривой при интеграла [tex] \sqrt{ \frac{x}{a} } + \sqrt{ \frac{y}{b} } = 1[/tex$
$Вычислить длину дуги кривой при интеграла [tex] \sqrt{ \frac{x}{a} } + \sqrt{ \frac{y}{b} } = 1[/tex$