Если от точки C к прямой a проведён перпендикуляр CA , то все остальные отрезки, проведённые от этой точки к прямой, называются наклонными.
2. Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой, так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
3. Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.
Расстояние между параллельными прямыми
Все точки одной из параллельных прямых равноудалены от другой параллельной прямой.
Следовательно, расстояние между двумя параллельными прямыми определяется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки, взятой на одной прямой, на другую прямую.
Attalums.png
Построение треугольника по трём элементам
В теме о построениях было рассмотрено:
1. как провести окружность с данным центром и радиусом.
2. Как на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
3. Как построить угол, равный данному.
4. Как построить биссектрису угла.
5. Как построить перпендикулярную прямую.
6. Как построить середину отрезка.
Используя рассмотренные построения и данные элементы треугольника, можно построить треугольник, равный данному.
Пример:
построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Даны два отрезка a и b , они равны сторонам искомого треугольника, и угол ∡ 1 , равный углу треугольника между сторонами. Необходимо построить треугольник с элементами, равными данным отрезкам и углу.
Trijst_konstr1.png
1. Провести прямую.
2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a .
3. Построить угол, равный данному ∡ 1 (вершина угла A , одна сторона угла лежит на прямой).
4. На другой стороне угла отложить отрезок, равный данному отрезку b .
5. Соединить концы отрезков.
Согласно признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные элементы.
Пример:
построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Дан отрезок a и два угла ∡ 1 и ∡ 2 , равные углам треугольника, прилежащим к данной стороне. Необходимо построить треугольник с элементами, равными данному отрезку и углам.
Trijst_konstr2.png
1. Провести прямую.
2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a , и отметить другой конец отрезка B .
3. Построить угол, равный данному ∡ 1 (вершина угла A , одна сторона угла лежит на прямой).
4. Построить угол, равный данному ∡ 2 (вершина угла B , одна сторона угла лежит на прямой).
5. Точка пересечения других сторон углов является третьей вершиной искомого треугольника.
Согласно признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные элементы.
Пример:
построение треугольника по трём сторонам.
Даны три отрезка: a , b и c , равные сторонам искомого треугольника. Необходимо построить треугольник со сторонами, равными данным отрезкам.
В этом случае перед началом построения необходимо убедиться, исполняется ли неравенство треугольника (длина каждого отрезка меньше суммы длин двух остальных отрезков), и эти отрезки могут быть сторонами треугольника.
Если да, то:
Trijst_konstr3.png
1. Провести прямую.
2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a , и отметить другой конец отрезка B .
3. Провести окружность с центром A и радиусом, равным отрезку b .
4. Провести окружность с центром B и радиусом, равным отрезку c .
5. Точка пересечения окружностей является третьей вершиной искомого треугольника.
Согласно признаку равенства треугольников по трём сторонам построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные стороны.
Начнем с определения последних цифр чисел. Рассмотрим, что произойдет, если на месте последней цифры двузначного чисел будет стоять каждая из цифр.
Если двузначное число оканчивается на 3, то его квадрат оканчивается на 9. Цифра 9 есть среди предложенных.
Если двузначное число оканчивается на 7, то его квадрат оканчивается на 9. Цифра 9 есть среди предложенных.
Если двузначное число оканчивается на 5, то его квадрат также оканчивается на 5. Но цифра 5 только одна. Значит этот вариант невозможен.
Если двузначное число оканчивается на 9, то его квадрат оканчивается на 1. Но цифры 1 среди предложенных нет. Этот вариант невозможен.
Если двузначное число оканчивается на 2, то его квадрат оканчивается на 4. Но цифры 4 среди предложенных нет. Этот вариант невозможен.
Итак, возможны две ситуации:
1. Двузначное число оканчивается на 3, а его квадрат - четырехзначное число оканчивается на 9 (числа *3 и ***9).
2. Двузначное число оканчивается на 7, а его квадрат - четырехзначное число оканчивается на 9 (числа *7 и ***9).
Рассмотрим первую ситуацию (числа *3 и ***9). Неиспользованные цифры: 7, 5, 3, 2. Простым перебором можно рассмотреть все возможные двузначные числа и посмотреть, можно ли получить его квадрат из оставшихся цифр.
Чтобы упростить перебор, можно сделать дополнительную оценку. Так как квадрат некоторого числа - четырехзначное число, то само это число точно больше 30. Также можно заметить, что четырехзначное число не может содержать цифры 1, значит оно больше 2000. Это означает, что двузначное число точно больше 40.
Таким образом, варианты двузначного числа 23 и 33 заведомо неверны. Остается проверить варианты двузначного числа 53 и 73.
53²=2809 - цифры не соответствуют предложенным
73²=5329 - цифры соответствуют предложенным
Итак, искомые числа 73 и 5329.
Рассмотрим вторую ситуацию (числа *7 и ***9), чтобы проверить наличие других решений. Неиспользованные цифры: 3, 5, 3, 2.
Выполним простой перебор всех вариантов, так как их всего три.
37²=1369, 57²=3249, 27²=729
Не один из вариантов не дает числа, состоящего из нужных цифр.
Значит, ранее найденная пара чисел 73 и 5329 - единственная.
Если от точки C к прямой a проведён перпендикуляр CA , то все остальные отрезки, проведённые от этой точки к прямой, называются наклонными.
2. Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой, так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
3. Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.
Расстояние между параллельными прямыми
Все точки одной из параллельных прямых равноудалены от другой параллельной прямой.
Следовательно, расстояние между двумя параллельными прямыми определяется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки, взятой на одной прямой, на другую прямую.
Attalums.png
Построение треугольника по трём элементам
В теме о построениях было рассмотрено:
1. как провести окружность с данным центром и радиусом.
2. Как на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
3. Как построить угол, равный данному.
4. Как построить биссектрису угла.
5. Как построить перпендикулярную прямую.
6. Как построить середину отрезка.
Используя рассмотренные построения и данные элементы треугольника, можно построить треугольник, равный данному.
Пример:
построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Даны два отрезка a и b , они равны сторонам искомого треугольника, и угол ∡ 1 , равный углу треугольника между сторонами. Необходимо построить треугольник с элементами, равными данным отрезкам и углу.
Trijst_konstr1.png
1. Провести прямую.
2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a .
3. Построить угол, равный данному ∡ 1 (вершина угла A , одна сторона угла лежит на прямой).
4. На другой стороне угла отложить отрезок, равный данному отрезку b .
5. Соединить концы отрезков.
Согласно признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные элементы.
Пример:
построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Дан отрезок a и два угла ∡ 1 и ∡ 2 , равные углам треугольника, прилежащим к данной стороне. Необходимо построить треугольник с элементами, равными данному отрезку и углам.
Trijst_konstr2.png
1. Провести прямую.
2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a , и отметить другой конец отрезка B .
3. Построить угол, равный данному ∡ 1 (вершина угла A , одна сторона угла лежит на прямой).
4. Построить угол, равный данному ∡ 2 (вершина угла B , одна сторона угла лежит на прямой).
5. Точка пересечения других сторон углов является третьей вершиной искомого треугольника.
Согласно признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные элементы.
Пример:
построение треугольника по трём сторонам.
Даны три отрезка: a , b и c , равные сторонам искомого треугольника. Необходимо построить треугольник со сторонами, равными данным отрезкам.
В этом случае перед началом построения необходимо убедиться, исполняется ли неравенство треугольника (длина каждого отрезка меньше суммы длин двух остальных отрезков), и эти отрезки могут быть сторонами треугольника.
Если да, то:
Trijst_konstr3.png
1. Провести прямую.
2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a , и отметить другой конец отрезка B .
3. Провести окружность с центром A и радиусом, равным отрезку b .
4. Провести окружность с центром B и радиусом, равным отрезку c .
5. Точка пересечения окружностей является третьей вершиной искомого треугольника.
Согласно признаку равенства треугольников по трём сторонам построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные стороны.
Начнем с определения последних цифр чисел. Рассмотрим, что произойдет, если на месте последней цифры двузначного чисел будет стоять каждая из цифр.
Если двузначное число оканчивается на 3, то его квадрат оканчивается на 9. Цифра 9 есть среди предложенных.
Если двузначное число оканчивается на 7, то его квадрат оканчивается на 9. Цифра 9 есть среди предложенных.
Если двузначное число оканчивается на 5, то его квадрат также оканчивается на 5. Но цифра 5 только одна. Значит этот вариант невозможен.
Если двузначное число оканчивается на 9, то его квадрат оканчивается на 1. Но цифры 1 среди предложенных нет. Этот вариант невозможен.
Если двузначное число оканчивается на 2, то его квадрат оканчивается на 4. Но цифры 4 среди предложенных нет. Этот вариант невозможен.
Итак, возможны две ситуации:
1. Двузначное число оканчивается на 3, а его квадрат - четырехзначное число оканчивается на 9 (числа *3 и ***9).
2. Двузначное число оканчивается на 7, а его квадрат - четырехзначное число оканчивается на 9 (числа *7 и ***9).
Рассмотрим первую ситуацию (числа *3 и ***9). Неиспользованные цифры: 7, 5, 3, 2. Простым перебором можно рассмотреть все возможные двузначные числа и посмотреть, можно ли получить его квадрат из оставшихся цифр.
Чтобы упростить перебор, можно сделать дополнительную оценку. Так как квадрат некоторого числа - четырехзначное число, то само это число точно больше 30. Также можно заметить, что четырехзначное число не может содержать цифры 1, значит оно больше 2000. Это означает, что двузначное число точно больше 40.
Таким образом, варианты двузначного числа 23 и 33 заведомо неверны. Остается проверить варианты двузначного числа 53 и 73.
53²=2809 - цифры не соответствуют предложенным
73²=5329 - цифры соответствуют предложенным
Итак, искомые числа 73 и 5329.
Рассмотрим вторую ситуацию (числа *7 и ***9), чтобы проверить наличие других решений. Неиспользованные цифры: 3, 5, 3, 2.
Выполним простой перебор всех вариантов, так как их всего три.
37²=1369, 57²=3249, 27²=729
Не один из вариантов не дает числа, состоящего из нужных цифр.
Значит, ранее найденная пара чисел 73 и 5329 - единственная.
ответ: 73 и 5329