вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=2x-x^2 и касательной проведенной к графику данной функции в точке с абциссой x=2 и с осью ординат

Пошаговое объяснение:

1) определим уравнение касательной проведенной к графику данной функции в точке с абциссой x₀=2  по формуле  y=y₀+y'(x₀)(x-x₀)

y₀=y(2)=2*2-2²=4-4=0 ; y'=2-2x ; y'(2)=2-4=-2

y=-2(x-2)=-2x+4 ; y=-2x+4

2) найдем точки пересечения графиков  y=-2x+4 и  y=2x-x²

-2x+4=2x-x²

x²-2x+4-2x=0

x²-4x+4=0

(x-2)²=0

x=2

(2;0)

3) найдем точки пересечения графика y=2x-x² с ОХ

y=2x-x²=0

х(2-х)=0

x₁=0 ; x₂=2

4) найдем точкy пересечения графика y=-2x+4 с ОУ

х=0  ;  y=-2x+4=-2*0+4=4

(0;4)

5) схематически построим графики y=-2x+4 и  y=2x-x²

6) площадь фигуры ограниченной линиями y=2x-x^2 и касательной проведенной к графику данной функции в точке с абциссой x=2 и с осью ординат

S=SΔOAB-SкриволинейногоΔOCB=

                     2                                                 2                  2

= (OA*OB/2)-∫(2x-x²)dx=(4*2/2)-[(2x²/2)-(x³/3)]=4-[x²-(x³/3)]=

                     0                                                 0                 0

=4-[2²-(2³/3)]=4-[4-(8/3)]=4-4+8/3=8/3=2 2/3