У правильного тетраэдра DABC все грани и, следовательно, все рёбра равны. Примем ребро равным а, центр основания - точка О (точка пересечения высот). Проведём осевое сечение через ребро АД. Имеем равнобедренный треугольник АДЕ, у которого АЕ = ДЕ = а*cos 30 = a√3/2. Проекция ребра на основание равна (2/3) от высоты треугольника в основании пирамиды, то есть (2/3)*а√3/2 = а√3/3. По Пифагору высота ДО = √(а² - (а√3/3)²) = √(а² - (а²/3)) = а√(2/3). Приравняем заданному значению: 2√6 = а√(2/3), Возведём в квадрат: 24 = а²(2/3) или а² = 36. Отсюда а = √36 = 6. Отрезок АО = (2/3)АЕ = (2/3)*( a√3/2) = (2/3)*(6√3/2) = 2√3. ОЕ = (1/2)АО = √3. Получаем координаты вершин: А(2√3; 0; 0), В(-√3; -3; 0), С(-√3; 3; 0).
Шестой царь Вавилона - Хаммурапи, один из величайших политиков древности, правил Вавилоном с 1792 по 1750 г. до н. э. Взойдя на трон небольшого царства, расположенного в среднем течении Евфрата, Хаммурапи закончил свои дни повелителем огромного (по тогдашним меркам) государства. После объединения страны Хаммурапи пришлось решать очень сложные задачи. Чтобы владения не распались на отдельные области, власть царя должна быть сильной. Но Хаммурапи не мог отбирать у крестьян землю, вновь создавать крупные царские хозяйства, набирать ремесленников в царские мастерские. Такие действия привели бы к быстрому упадку страны - люди успели привыкнуть к самостоятельности и относительной свободе, к доходам от рыночной торговли. Мудрый Хаммурапи нашел позволяющие управлять деятельностью подданных. Он стал автором самого известного на Древнем Востоке сборника законов, названного историками "Кодексом Хаммурапи" - каменный столб с изображением царя Хаммурапи и текстом 247 его законов, написанным клинописью. Из этих законов (в основном) и стало известно о жизни Вавилонии и о том, как Хаммурапи управлял страной. Хаммурапи не стал создавать царские поместья, отбирая землю у крестьян. Он воспользовался участками, которые общины выделяли ему как царю. На эти земли Хаммурапи посылал своих людей - воинов и так называемых "мушкену". Мушкену считались приближенными царя и получали от него землю, скот и зерно, необходимые для ведения хозяйства. Кража имущества у мушкену каралась строже, чем кража у простого крестьянина. Так царь мог влиять на жизнь сельских общин через верных ему и зависимых от него людей. Пришлось царю заниматься и крестьянскими долгами. Раньше крестьяне платили налоги, в основном, зерном, маслом, шерстью. Хаммурапи начал взимать налоги серебром. Однако, далеко не все крестьяне продавали продукты на рынках. Многим приходилось брать серебро в долг у тамкаров (заимодавцев) за дополнительную плату. Тем, кто был не в состоянии расплатиться с долгами, приходилось отдавать в рабство кого-нибудь из родственников. Хаммурапи несколько раз отменял все накопившиеся в стране долги, ограничил долговое рабство тремя годами, но справиться с проблемой долгов ему так и не удалось. Немудрено, ведь среди тамкаров были не только торговцы, но и сборщики налогов, и хранители царской казны. Право в своде Хаммурапи не совпадает с религией, но, тем не менее, праву придается сакральный характер. В законах отсутствует разделение на публичное и частное право. Наказание рассматривается как возмещение вреда, причиненного отдельному лицу, наказание назначается судами. Формируются весьма нечеткие представления о видах вины. Впервые в истории Месопотамии предусмотрено назначение наказаний по принципу талиона. Однако талион применялся только среди равных. Законы формируются как закрепленные нормы, сложившиеся в практике, без теоретического обобщения. Долгое время Вавилон оставался самым могущественным городом в Междуречье. В IV в. до н. э. в Вавилоне жило не меньше 200000 человек - это был огромный по тем временам город. Но в 539 г. до н. э. красивейший город почти без сопротивления сдался иранскому царю Киру. Хаммурапи не удалось создать крепкое государство. Уже при правлении его сына, Самсуилуны, Вавилония потерпела ряд тяжелых поражений от своих соседей, и ее владения сократились. Но Хаммурапи все же добился большего, чем его предшественники или цари соседних стран. Он первым из правителей древности соразмерил с силой царя силу закона и признал за подданными право самим заботиться о своей жизни. Наконец, Хаммурапи предложил народу образ Бога, устанавливающего согласие между людьми. Начиная с правления Хаммурапи, Вавилон 1200 лет был важным культурным и научным центром Передней Азии.
Проведём осевое сечение через ребро АД.
Имеем равнобедренный треугольник АДЕ, у которого АЕ = ДЕ = а*cos 30 = a√3/2.
Проекция ребра на основание равна (2/3) от высоты треугольника в основании пирамиды, то есть (2/3)*а√3/2 = а√3/3.
По Пифагору высота ДО = √(а² - (а√3/3)²) = √(а² - (а²/3)) = а√(2/3).
Приравняем заданному значению: 2√6 = а√(2/3),
Возведём в квадрат: 24 = а²(2/3) или а² = 36. Отсюда а = √36 = 6.
Отрезок АО = (2/3)АЕ = (2/3)*( a√3/2) = (2/3)*(6√3/2) = 2√3.
ОЕ = (1/2)АО = √3.
Получаем координаты вершин:
А(2√3; 0; 0),
В(-√3; -3; 0),
С(-√3; 3; 0).