(дополнительный множитель для первой дроби равен 1, для второго 3)
Привести к общему знаменателю обыкновенную дроби это значит сделать так, чтобы знаменатели (то что внизу дробной линии) двух или более обычных дробей были равны.
Чтобы привести общие знаменатели нужно найти такие дополнительные множители, чтобы знаменатель стал одинаковым.
Дополнительный множитель это число, на которое нужно умножить числитель (то что выше дробной линии) и знаменатель (то что ниже дробной линии), чтобы привести ее к новому знаменателю.
Зачем нужно приводить общий знаменатель?
Для того чтобы сложить и вычесть обыкновенную дробь.
Например:
Если знаменатели не равны прибавлять числители нельзя.
На плоскости даны окружность ω , точка A, лежащая внутри ω , и точка B, отличная от A. Рассматриваются всевозможные треугольники BXY, такие что точки X и Y лежат на ω и хорда XY проходит через точку A. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников BXY, лежат на одной прямой.
Решение:
По теореме о произведении отрезков хорд произведение XA • AY не зависит от положения хорды XY и равно некоторой постоянной величине d. На продолжении отрезка BA за точку A отложим отрезок AC длины . Тогда AB • AC = XA • AY = d, следовательно точки X, B, Y и C лежат на одной окружности. Это означает, что окружности, описанные около треугольников BXY, проходят через фиксированные точки B и C, следовательно их центры лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC.
Задача 2.В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости, ). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы n – 3 точки в пространстве ни взять, найдётся плоскость из проведённых, не содержащая ни одной из этих n – 3 точек.
Решение:
Пусть X — произвольное множество из n – 3 точек. Очевидно, что в нашем множестве M есть точка x, не принадлежащая множеству X. Соединим ее прямыми с остальными точками множества M. По условию все эти прямые различны, поэтому их ровно n – 1. Поскольку в множестве X менее n – 1 точки, одна из проведенных прямых не пересекает X. Через эту прямую и оставшиеся (n – 2) точки множества M проведём (n – 2) плоскости. Так как этих плоскостей по-прежнему больше, чем точек во множестве X, одна из них не пересекает X. Эта плоскость и является искомой.
Задача 3.Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них — точные квадраты?
Решение:
ответ: Да.Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через x1, … ,x10 и S. Тогда Следовательно, . Пусть nk = 3k (k = 1, … ,10). Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа удовлетворяют требованиям задачи.
Задача 4.В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно. Пусть K — точка на окружности, диаметрально противоположная точке C1, D — точка пересечения прямых B1C1 и A1K. Докажите, что CD = CB1.
Решение:
Заметим, что CA1 = CB1 (как касательные, проведенные к вписанной окружности из одной точки). Пусть окружность с центром в точке C и радиуса CA1 = CB1 пересекает прямую A1K в точке D1. Мы должны доказать, что точки D и D1 совпадают, т.е. что точки D1, B1 и C1 лежат на одной прямой. Прямая KA1 перпендикулярна A1C1 и, следовательно, параллельна биссектрисе BO. Поэтому . Угол C при вершине равнобедренного треугольника A1CD1 равен 180 – 2 • ∠ OBA1 = ∠ A + ∠ C, следовательно, ∠ B1CD1 = ∠ A.В равнобедренных треугольниках D1CB1 и B1AC1 углы при вершинах равны. Поэтому равны и углы при основаниях: ∠ D1B1C = ∠ C1B1A. Это и значит, что точки D1, B1, C1 лежат на одной прямой.
Пошаговое объяснение:
Привести к общему знаменателю обыкновенную дроби это значит сделать так, чтобы знаменатели (то что внизу дробной линии) двух или более обычных дробей были равны.
Чтобы привести общие знаменатели нужно найти такие дополнительные множители, чтобы знаменатель стал одинаковым.
Дополнительный множитель это число, на которое нужно умножить числитель (то что выше дробной линии) и знаменатель (то что ниже дробной линии), чтобы привести ее к новому знаменателю.
Зачем нужно приводить общий знаменатель?
Для того чтобы сложить и вычесть обыкновенную дробь.
Например:
Если знаменатели не равны прибавлять числители нельзя.
На плоскости даны окружность ω , точка A, лежащая внутри ω , и точка B, отличная от A.
Рассматриваются всевозможные треугольники BXY, такие что точки X и Y лежат на ω и хорда XY проходит через точку A.
Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников BXY, лежат на одной прямой.
Решение:
По теореме о произведении отрезков хорд произведение XA • AY не зависит от положения хорды XY и равно некоторой постоянной величине d.
На продолжении отрезка BA за точку A отложим отрезок AC длины .
Тогда AB • AC = XA • AY = d, следовательно точки X, B, Y и C лежат на одной окружности.
Это означает, что окружности, описанные около треугольников BXY, проходят через фиксированные точки B и C,
следовательно их центры лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC.
Задача 2.В пространстве даны n точек общего положения
(никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости, ).
Через каждые три из них проведена плоскость.
Докажите, что какие бы n – 3 точки в пространстве ни взять,
найдётся плоскость из проведённых, не содержащая ни одной из этих n – 3 точек.
Решение:
Пусть X — произвольное множество из n – 3 точек.
Очевидно, что в нашем множестве M есть точка x, не принадлежащая множеству X.
Соединим ее прямыми с остальными точками множества M.
По условию все эти прямые различны, поэтому их ровно n – 1.
Поскольку в множестве X менее n – 1 точки, одна из проведенных прямых не пересекает X.
Через эту прямую и оставшиеся (n – 2) точки множества M проведём (n – 2) плоскости.
Так как этих плоскостей по-прежнему больше, чем точек во множестве X, одна из них не пересекает X.
Эта плоскость и является искомой.
Задача 3.Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них — точные квадраты?
Решение:
ответ: Да.Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через x1, … ,x10 и S. Тогда
Следовательно, . Пусть nk = 3k (k = 1, … ,10).
Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа удовлетворяют требованиям задачи.
Задача 4.В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно.
Пусть K — точка на окружности, диаметрально противоположная точке C1, D — точка пересечения прямых B1C1 и A1K.
Докажите, что CD = CB1.
Решение:
Заметим, что CA1 = CB1 (как касательные, проведенные к вписанной окружности из одной точки).
Пусть окружность с центром в точке C и радиуса CA1 = CB1 пересекает прямую A1K в точке D1.
Мы должны доказать, что точки D и D1 совпадают, т.е. что точки D1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
Прямая KA1 перпендикулярна A1C1 и, следовательно, параллельна биссектрисе BO.
Поэтому .
Угол C при вершине равнобедренного треугольника A1CD1 равен 180 – 2 • ∠ OBA1 = ∠ A + ∠ C,
следовательно, ∠ B1CD1 = ∠ A.В равнобедренных треугольниках D1CB1 и B1AC1 углы при вершинах равны.
Поэтому равны и углы при основаниях: ∠ D1B1C = ∠ C1B1A.
Это и значит, что точки D1, B1, C1 лежат на одной прямой.