1) Периметр при фиксированной площади периметр минимален в квадрате. Значит, прямоугольник - квадрат со стронами √625 = 25. Докажем первое утверждение. Пусть одна сторона - x, а площадь - S, тогда вторая сторона равна S/x, а полупериметр равен p = x + S/x. Найдём производную этой функции она равна 1 - S/(x²). Приравняем её к нулю, чтобы найти экстремум(здесь - минимум): 1 - S/(x²) = 0 ⇔ x²=S ⇒ x = √S То есть, минимальный периметр достигается в квадрате при фиксю площади, что и требовалось доказать.
Пусть скорость первого насоса - x, второго - y, третьего - z
Весь бассейн - 100% = 1
Первый и второй заполнили его за 26 минут, то есть 26(x + y) = 1 Второй и третий - за 39 минут, то есть 39(y + z) = 1 Аналогично первый и третий: 52(x + z) = 1
1 - S/(x²) = 0 ⇔ x²=S ⇒ x = √S
То есть, минимальный периметр достигается в квадрате при фиксю площади, что и требовалось доказать.
2)
Весь бассейн - 100% = 1
Первый и второй заполнили его за 26 минут, то есть 26(x + y) = 1
Второй и третий - за 39 минут, то есть 39(y + z) = 1
Аналогично первый и третий: 52(x + z) = 1
Составим систему уравнений:
26(x + y) = 1
39(y + z) = 1
52(x + z) = 1
26x + 26y = 1 | домножим на 2
39y + 39z = 1
52x + 52z = 1
52x + 52y = 2
39y + 39z = 1
52x + 52z = 1
Из 1-го уравнения вычтем 3-е:
52x + 52y - 52x - 52z = 2 - 1
39y + 39z = 1
52x + 52z = 1
52y - 52z = 1 | домножим на 3
39y + 39z = 1 | домножим на 4
52x + 52z = 1
156y - 156z = 3
156y + 156z = 4
52x + 52z = 1
Сложим первое и второе уравнение:
156y + 156y = 7
156y + 156z = 4 | разделим на 4
52x + 52z = 1
312y = 7
39y + 39z = 1
52x + 52z = 1
y = 7/312
39z = 1 - 39y
52x + 52z = 1
y = 7/312
39z = 1 - 39(7/312)
52x + 52z = 1
y = 7/312
z = 3/24 / 39
52x + 52z = 1
y = 7/312
z = 1/312
52x = 1 - 52z
y = 7/312
z = 1/312
52x = 1 - 52(1/312)
y = 7/312
z = 1/312
x = 5/6 / 52
y = 7/312
z = 1/312
x = 5/312
Вопрос задачи: 1/(x + y + z) = 1/(1/312 + 7/312 + 5/312) = 1/(13/312) = 312/13 = 24 минуты