Задача 1. Знайдіть площу круга, якщо довжина його кола дорівнюе 25, 12 см. Задача 2. Треба пофарбувати круг радіуса 3 м. Скільки потрібно для , цього фарби, якщо на кожний квадратний метр витрачасться 120 г фарби (результат округліть до десятків грамів)? Задача 3. Клумба має форму круга. Довжина кола, що обмежує клумбу, дорівнює 31,4 м. На клумбі висаджують кущі троянд, відводячи під кожний кущ 0,8 м' землі. Яку найбільшу кількість кущів троянд можна висадити на клумбі? Задача 4. Діаметр колеса тепловоза дорівнює 80 см. За 2 хв колесо робить 800 обертів. Яка швидкість тепловоза в кілометрах за годину? Результат округліть до десятих км/год.
Условие
Продолжения медиан AM и BK треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках E и F соответственно, причём AE:AM=2:1 , BF:BK=3:2 . Найдите углы треугольника ABC .
Решение
Диагонали BC и AE четырёхугольника ABEC точкой пересечения M делятся пополам, значит, этот четырёхугольник – параллелограмм, а т.к. он вписан в окружность, то это прямоугольник. Следовательно, BAC = 90o . Пусть FK=t , BK=2t , AK=KC=x . По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд AK· KC=BK· KF , или x2=2t· t = 2t2 , откуда x=t . Из прямоугольного треугольника ABK находим, что
sin ABK = = = = ,
поэтому ABK = 45o . Тогда AB=AK=x . Следовательно,
tg ABC = = = 2.
ответ
90o , arctg 2 , 90o- arctg 2 .
Источники и прецеденты использования
AM– медиана Δ АВС, значит BM=MC, M – середина ВС.
ВK– медиана Δ АВС, значит AK=KC, K – середина АС.
Значит KM – средняя линия Δ АВС:
KM || AB
KM=(1/2)AB.
По условию AE:AM=2:1 ⇒ AM=ME и M – середина AE
Значит, KM – средняя линия Δ АСЕ:
KM || СЕ
KM=(1/2)СЕ.
AB || KM || CE ⇒ AB || CE
б)
AB=CE=2KM
Значит и дуги АВ и СЕ, стягиваемые равными хордами равны.
рис.3
∠САЕ= ∠ BCA как углы, опирающиеся на равные дуги.
Δ АМС – равнобедренный.
MС=MA.
Так как
MA=ME, то
MC=MA=ME и поэтому
M– центр окружности, описанной около треугольника АСЕ.
а значит и около треугольника АВС.
MС=MB
MC=MA
MC=MB=MA
∠ A=90o
BC и АЕ – диаметры.
Обозначим MC=MB=MA=ME=R
KF=x, по условию BF:BK=2:3 , значит BK=2x
Медианы АМ и BK пересекаются в точке D.
AD:DM=2:1
BD:DK=2:1
AD=(2/3)R; DM=(1/3)R
BD=(4/3)x; DK=(2/3)x
DF=DK+KF=(2/3)x+x=(5/3)x
DE=DM+ME=(1/3)R+R=(4/3)R
По свойству пересекающихся хорд:
BD·DF=AD·DE
(4/3)x·(5/3)x=(2/3)R·(4/3)R
x2=(2/5)R2
Из Δ MDB по теореме косинусов:
DB2=MD2+MB2–2MD·MB·cos ∠ BMD
⇒
cos ∠ BMD=((R/3)2+R2–(4/3x)2)/(2·(R/3)·R)=
=((10R2/9)–(16/9)·(2/5)R2)/(2·R2/3)= (18/45)·(3/2)=0,6
По теореме косинусов из Δ АМВ
АВ2=R2+R2–2R·R·0,6
AB=R·√0,8
sin ∠ C =AB/CB=√0,8/2=√0,2=1/√5
∠ C= arcsin(1/√5)
sin ∠ B= cos ∠ C= 2/√5
∠ B= arcsin(2/√5)
tg∠ B=sin∠ B/cos∠ B=2; tg∠ C=1/2
О т в е т. 90o; arcsin(1/√5);arcsin(2/√5)
или
90o; arctg2 и arctg(1/2)