Заранее Под каким углом пересекаются координатные прямые, образующие систему координат на плоскости?
А) под острым углом; Б) под прямым углом; В) под тупым углом; Г) под развёрнуым углом
2. Как называется горизонтальная прямая?
А) аппликата; Б) ордината; В) абсцисса; Г) биссектриса
3. Как называется вертикальная прямая?
А) ордината; Б) абсцисса; В) аппликата; Г) биссектриса
4. Как называют точку пересечения этих прямых?
А) начало всех начал; Б) середина; В) разделитель; Г) начало отсчёта
5. Как называют пару чисел, определяющих положение точек на плоскости?
А) числа для точки; Б) числа на плоскости; В) координаты точи; Г) показатели точки
6. Что показывают стрелки на координатных прямых?
А) прямую можно продолжить; Б) положительное направление; В) отрицательное направление; Г) Ничего не показывают
7. Как правильно записываются координаты?
А) х, у; Б) (х, у); В) (у, х); Г) в любом порядке
8. Сколько чисел надо указать, чтобы задать положение точки на координатной плоскости?
А) 4; Б) 3; В) 2; Г) 1
9. Как называется первое из чисел, задающее положение точки на координатной плоскости?
А) число; Б) ордината; В) абсцисса; Г) никак не называется
10. Запишите обозначения точки Р, если ее абсцисса равна 0, а ордината 5?
А) Р (5;0); Б) Р (0;0); В) Р (0;5); Р (5;5)
Пусть трапеция ABCD, AD II BC. Из С проводим прямую II диагонали BD до пересечения с продолжением AD. Пусть это точка Е. Ясно, что DBCE - параллелограмм.
Треугольник ACE имеет ту же высоту, что и трапеция - это расстояние от С до AD (обозначим эту высоту СН), а АЕ = AD + BC. Очевидно, что площадь АСЕ равна площади ABCD ( = СН*(AD + BC)/2).
Стороны треугольника АСЕ это AC = 15; СЕ = BD = 20; AE = AD + BC = 2*12,5 = 25.
Не трудно убедится, что это треугольник, подобный "египетскому" - со сторонами (3,4,5). То есть это прямоугольный треугольник, и его площадь равна 15*20 / 2 = 150.
ответ - площадь трапеции 150.
б) Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты: АВ : Х-Ха = У-Уа
Хв-Ха Ув-Уа
Получаем уравнение в общем виде:
АВ: 4х - 8 = 3у - 6 или
АВ: 4х - 3у - 2 = 0
Это же уравнение в виде у = кх + в:
у = (4/3)х - (2/3).
Угловой коэффициент к = 4/3.
ВС : Х-Хв = У-Ув
Хс-Хв Ус-Ув
ВС: 2х + у - 16 = 0.
ВС: у = -2х + 16.
Угловой коэффициент к = -2.
в) Внутренний угол В:Можно определить по теореме косинусов.
Находим длину стороны ВС аналогично стороне АВ:
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = 2.236067977
cos В= (АВ²+ВС²-АС²) / (2*АВ*ВС) = 0.447214
Угол B = 1.107149 радиан = 63.43495 градусов.
Можно определить векторным
Пусть координаты точек
A: (Xa, Ya) = (2; 2) .
B: (Xb, Yb) = (5; 6).
С: (Xc, Yc) = (6; 4).
Находим координаты векторов AB и BС:
AB= (Xb-Xa; Yb-Ya) = ((5 - 2); (6 - 2)) = (3; 4);
BС= (Xc-Xв; Yс-Yв) = ((6 - 5); (4 - 6)) = (1; -2).
Находим длины векторов:
|AB|=√((Xb-Xa)² + (Yb-Ya)^2) = 5 ( по пункту а)
|ВС|=√((Xс-Xв)²+(Yс - Yв) = √(1²+(-2)²) = √5 = 2.236067977.
b=cos α=(AB*ВС)/(|AB|*|ВС|
AB*ВC = (Xв - Xa)*(Xc - Xв) + (Yв - Ya)*(Yc - Yв) =
= 3*1 + 4*(-2) = 3 - 8 = -5.
b = cosα = |-5| / (5*2.236067977) = 5 / 11.18034 = 0.447213620
Угол α=arccos(b) = arc cos 0.4472136 = 1.1071487 радиан = 63.434949°.
г) Уравнение медианы АЕ.
Находим координаты точки Е (это основание медианы АЕ), которые равны полусумме координат точек стороны ВС.
3x - 6 = 3,5y - 7
3x - 3,5y + 1 =0, переведя в целые коэффициенты:
6х - 7у + 2 = 0,
С коэффициентом:
у = (6/7)х + (2/7) или
у = 0.85714 х + 0.28571.