Какой частью речи является слово "что" в каждом из предложений? 1) татьяна васильевна написала, что приедет в двадцатых числах июня. 2) предметы на письменном столе были расставлены так, что самые необходимые были под рукой. 3) она не сводит глаз с дороги, что идет через рощу. 4) я поместил в этой книге только то, что относилось в пребыванию печорина на кавказе

1) Придаточное изъяснительное. Зависит от глагола написала, отвечает на вопрос что? Слово что является союзом, т. к. не является членом предложения, на него не падает логическое ударение, оно может быть опущено из предложения или заменено другим подчинительным союзом (например, союзом будто).
2) Придаточное образа действия. Зависит от причастия расставлены и указательного слова так, отвечает на вопрос как? каким образом? Слово что является союзом, т. к. не является членом предложения, на него не падает логическое ударение, оно может быть опущено из предложения.
3) Придаточное  определительное. Зависит от существительного  через рощу, отвечает на вопрос  какую? Слово что является относительным  местоимением, выполняет роль союзного слова. Является членом придаточного предложения (подлежащим).
4) Придаточное  местоименно-определительное. Относится к местоимению то. Слово что является относительным местоимением, выполняет роль подлежащего в придаточном предложении.