1. Выполните умножение: a. (k + 2)(k - 4) b. (3m + 1)(2m - 2) c. (6y - 2z)(y + z) d. (a - 3)(a2 + a - 1) 2. Разложите на множители: a. k(4m - 3) - 5(4m - 3) b. 7a - 7b + ac - bc 3. Решите уравнение (x - 11)(x + 3) - (x - 2)(x - 3) = 6 4. Представьте в виде произведения: a. 6x - x2 + 12c - 2cx b. ab - db - ac + cd + 5d - 5a 5. Длина прямоугольника на 5 больше его ширины. Если длину увеличить на 3, а ширину на 7, то его площадь увеличится на 86. Найдите длину и ширину прямоугольника.
Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
( a + b ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k = ( n 0 ) a n + ( n 1 ) a n − 1 b + ⋯ + ( n k ) a n − k b k + ⋯ + ( n n ) b n (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n - 1}b + \dots + {n\choose k}a^{n - k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n где ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! = C n k {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}= C_n^k — биномиальные коэффициенты, n n — неотрицательное целое число.
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число.
1) cos5x + cos2x = 0 Воспользуемся формулой сложения косинусов: 2cos[(5x + 2x)/2]cos[(5x - 2x)/2] = 0 cos3,5x·cos1,5x = 0 Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: cosx(7x/2) = 0 7x/2 = π/2 + πn, n ∈ Z 7x = π + 2πn, n ∈ Z x = π/7 + 2π/7, n ∈ Z cos(3x/2) = 0 3x/2 = π/2 + πn, n ∈ Z 3x = π + 2πn, n ∈ Z x = π/3 + 2π/3, n ∈ Z ответ: x = π/7 + 2π/7, n ∈ Z; π/3 + 2π/3, n ∈ Z.
2) sin3x + cos2x = 0 sin3x + sin(π/2 - 2x) = 0 Воспользуемся формулой сложения синусов: 2sin[(3x + π/2 - 2x)/2]cos[(3x - π/2 + 2x)/2] = 0 sin(x/2 + π/4)cos(5x/2 - π/4) = 0 sin(x/2 + π/4) = 0 x/2 + π/4 = πn, n ∈ Z x/2 = -π/4 + πn, n ∈ Z x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z cos(5x/2 - π/4) = 0 5x/2 - π/4 = π/2 + πn, n ∈ Z 5x/2 = 3π/4 + πn, n ∈ Z 5x = 3π/2 + 2πn, n ∈ Z x = 3π/10 + 2πn/5, n ∈ Z ответ: x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z; 3π/10 + 2πn/5, n ∈ Z.
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
=
(
n
0
)
a
n
+
(
n
1
)
a
n
−
1
b
+
⋯
+
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
+
⋯
+
(
n
n
)
b
n
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n - 1}b + \dots + {n\choose k}a^{n - k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n
где
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
=
C
n
k
{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}= C_n^k — биномиальные коэффициенты,
n
n — неотрицательное целое число.
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число.
Воспользуемся формулой сложения косинусов:
2cos[(5x + 2x)/2]cos[(5x - 2x)/2] = 0
cos3,5x·cos1,5x = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
cosx(7x/2) = 0
7x/2 = π/2 + πn, n ∈ Z
7x = π + 2πn, n ∈ Z
x = π/7 + 2π/7, n ∈ Z
cos(3x/2) = 0
3x/2 = π/2 + πn, n ∈ Z
3x = π + 2πn, n ∈ Z
x = π/3 + 2π/3, n ∈ Z
ответ: x = π/7 + 2π/7, n ∈ Z; π/3 + 2π/3, n ∈ Z.
2) sin3x + cos2x = 0
sin3x + sin(π/2 - 2x) = 0
Воспользуемся формулой сложения синусов:
2sin[(3x + π/2 - 2x)/2]cos[(3x - π/2 + 2x)/2] = 0
sin(x/2 + π/4)cos(5x/2 - π/4) = 0
sin(x/2 + π/4) = 0
x/2 + π/4 = πn, n ∈ Z
x/2 = -π/4 + πn, n ∈ Z
x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z
cos(5x/2 - π/4) = 0
5x/2 - π/4 = π/2 + πn, n ∈ Z
5x/2 = 3π/4 + πn, n ∈ Z
5x = 3π/2 + 2πn, n ∈ Z
x = 3π/10 + 2πn/5, n ∈ Z
ответ: x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z; 3π/10 + 2πn/5, n ∈ Z.