1006. дана функция у = -2х2 + 3x + 2.
1) построить её график и найти значения хпри которых
y(x) < 0.
2) доказать, что функция убывает на промежутке [1; 2].
3) найти значение х, при котором функция принимает
наибольшее значение.
4) найти значения хпри которых график данной функ-
ции лежит ниже графика функции y= 3х + 2.
5) записать уравнения касательных к параболе у =
= -2х2 + 3x + 2 в точках с ординатой, равной 3.
Находим первую производную функции:
y' = -2x + 5 - 2/x
или
y' = (- 2x² + 5x - 2)/x
Приравниваем ее к нулю:
- 2x + 5 - 2/x = 0
x₁ = 1/2
x₂ = 2
Вычисляем значения функции
f(1/2) = 2ln(2) + 9/4
f(2) = - 2ln(2) + 6
ответ: fmin = 2ln(2) + 9/4, fmax = - 2ln(2) + 6
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = - 2 + 2/x²
или
y'' = (- 2x² + 2)/x²
Вычисляем:
y''(1/2) = 6 > 0 - значит точка x = 1/2 точка минимума функции.
y''(2) = - 3/2 < 0 - значит точка x = 2 точка максимума функции.
Для этого я найду базисную пару (x0;y0) путём подбора. Как я это сделаю? Вместо y будем подставлять остатки от деления на 3. Какие это остатки? 0,1 и 2. Рассмотрим все возможные случаи.
y = 0, тогда 3x = 11, x = 11/3 - очевидно, не целое число.
y = 1, тогда 3x + 5 = 11, 3x = 6, x = 2 - это нам подходит.
Итак, пара (2;1) - базисная для нашего уравнения. Отсюда будем искать общий закон, по которому можно будет найти все остальные решения уравнения.
Пусть n - произвольный целочисленный параметр, а 5/НОД(3,5) = 5, 3/НОД(3,5) = 3, тогда
x = 2 + 5n
y = 1 - 3n
Это и есть общий закон. Подставляя сюда любое целое n, будем каждый раз получать любое целое решение уравнения.
2)20x - 15y = 51
Замечаем, что НОД(20,15) = 5, а 51 не делится нацело на 5. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.
3)2x - 3y = 17
Видим, что НОД(2;-3) = 1, а 17 делится на 1 нацело. Следовательно, уравнение имеет решения в целых числах. Найдём общий закон, описывающий все эти решения.
Для начала отыщем вновь базисную пару целых решений.
Будем заменять y на остатки от деления на коэффициент при x, то есть, на 2. Это 0 и 1.
y = 0, тогда x = 17/2 - нецелое число.
y = 1, тогда 2x = 20. а x = 10 - подходит
Итак, пара (10;1) - базисная.
Далее, пусть l - целочисленный параметр. -3/НОД(2,-3) = -3, 2/НОД(2,-3) = 2
Тогда общее решение имеет вид:
x = 10 - 3l
y = 1 - 2l
Подставляя вместо l разные целые числа, будем каждый раз получать соответствующие целые x и y.
4)4x - 3y = 10.2
Для начала домножим обе части уравнения на 10.
40x - 30y = 102
рассмотрим остатки левой и правой части при делении на 10.
Замечаем, что 40x даёт остаток 0 при делении на 10(40 идёт как сомножитель).
-30y даёт остаток 0 при делении на 10(по аналогичной причине). Следовательно, вся левая часть даёт остаток 0 + 0 = 0 при делении на 10, который правая часть не даёт. Правая часть даёт остаток 2 при делении на 10. Следовательно, равенства быть не может.