При каких значениях а и в равенство
а/ (х+5) + b/(х-2)² = (х²+24) / (х³+х²-16х+20) является тождеством ?
Решение: а / (х+5) + b/(х -2)² = (х²+24) / (х³+х²-16х+20)
x³+х²-16х+20 = x³ - 2х²+3x²-6х - 10x +20 =x²(x-2) +3x(x-2) -10(x-2) =
(x-2)(x² +3x -10) =(x-2)(x +5)(x -2) = (x +5)(x -2)²
- - -
а / (х+5) + b/(х -2)² = (х²+24) / (х+5) (х -2)²
( a(х -2)² +b(x+5) ) / (х+5) (х -2)² = (х²+24) / (х+5) (х -2)²
a(х -2)² +b(x+5) ≡ х²+24 для всех x
ax² - 4ax +4a +bx +5b ≡ х²+24
ax² + (b -4a) x +4a +5b ≡ 1*х²+0*x +24 многочлены равны если
{ a=1 ; b-4a =0 ; 4a +5b =24 . ( система написана в одной строке)
{ a=1 ; b=4a ; 4a +5b =24.
{ a=1 ; b=4 ; 4*1 +5*4 =24.
ответ : a=1 ; b=4.
1) Найди дискриминант квадратного уравнения 8x²+4x+12=0.
D = b² - 4ac = 16 - 4·8·12 = 16 - 384 = -368.
2) Найди корни квадратного уравнения x²+7x+12=0.
По т., обратной к т. Виетта, имеем х₁ = -4; x₂ = -3.
3) Реши квадратное уравнение 2(5x−15)²−7(5x−15)+6=0.
Рациональным будет метод введения новой переменной.
Пусть 5x−15 = t, тогда имеем:
2t²−7t+6=0; D = b² - 4ac = 49 - 4·2·6 = 49 - 48 = 1; √D = 1
t₁ = (7 + 1)/4 = 2; t₂ = (7 - 1)/4 = 1,5.
Возвращаемся к замене:
5x−15 =2; 5x = 2 + 15; 5x = 17; x = 17/5; x₁ = 3,4.
5x−15 = 1,5; 5x = 1,5 + 15; 5x = 16,5; x = 16,5/5; x₂ = 3,3.
ответ: 3,4; 3,3.
4)Найди корни уравнения −8,9(x−2,1)(x−31)=0.
x−2,1 = 0 или x−31 = 0.
х₁ = 2,1 х₂ = 31.
ответ: 2,1; 31.
5) Сократи дробь (x−4)²/(x²+2x−24) = (x−4)²/((x + 6)(x − 4)) = (х - 4)/(х + 6).
Полученная дробь: (х - 4)/(х + 6).
6)Сократи дробь (5x²−32x+12)/(x³−216).
5x²−32x+12 = 0; D = b² - 4ac = 1024 - 480 = 784; √D = 28.
x₁ = (32 + 28)/10 = 6; x₂ = (32 - 28)/10 = 0,4
Имеем: (5x²−32x+12)/(x³−216) = ((x - 6)(5x - 2))/((x - 6)(x² + 6x + 36)) =
= (5x - 2)/(x² + 6x + 36).
7) Разложи на множители квадратный трехчлен x² + 8x + 15.
x² + 8x + 15 = 0; x₁ = -3; x₂ = -5.
имеем, x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5).
При каких значениях а и в равенство
а/ (х+5) + b/(х-2)² = (х²+24) / (х³+х²-16х+20) является тождеством ?
Решение: а / (х+5) + b/(х -2)² = (х²+24) / (х³+х²-16х+20)
x³+х²-16х+20 = x³ - 2х²+3x²-6х - 10x +20 =x²(x-2) +3x(x-2) -10(x-2) =
(x-2)(x² +3x -10) =(x-2)(x +5)(x -2) = (x +5)(x -2)²
- - -
а / (х+5) + b/(х -2)² = (х²+24) / (х+5) (х -2)²
( a(х -2)² +b(x+5) ) / (х+5) (х -2)² = (х²+24) / (х+5) (х -2)²
a(х -2)² +b(x+5) ≡ х²+24 для всех x
ax² - 4ax +4a +bx +5b ≡ х²+24
ax² + (b -4a) x +4a +5b ≡ 1*х²+0*x +24 многочлены равны если
{ a=1 ; b-4a =0 ; 4a +5b =24 . ( система написана в одной строке)
{ a=1 ; b=4a ; 4a +5b =24.
{ a=1 ; b=4 ; 4*1 +5*4 =24.
ответ : a=1 ; b=4.
1) Найди дискриминант квадратного уравнения 8x²+4x+12=0.
D = b² - 4ac = 16 - 4·8·12 = 16 - 384 = -368.
2) Найди корни квадратного уравнения x²+7x+12=0.
По т., обратной к т. Виетта, имеем х₁ = -4; x₂ = -3.
3) Реши квадратное уравнение 2(5x−15)²−7(5x−15)+6=0.
Рациональным будет метод введения новой переменной.
Пусть 5x−15 = t, тогда имеем:
2t²−7t+6=0; D = b² - 4ac = 49 - 4·2·6 = 49 - 48 = 1; √D = 1
t₁ = (7 + 1)/4 = 2; t₂ = (7 - 1)/4 = 1,5.
Возвращаемся к замене:
5x−15 =2; 5x = 2 + 15; 5x = 17; x = 17/5; x₁ = 3,4.
5x−15 = 1,5; 5x = 1,5 + 15; 5x = 16,5; x = 16,5/5; x₂ = 3,3.
ответ: 3,4; 3,3.
4)Найди корни уравнения −8,9(x−2,1)(x−31)=0.
x−2,1 = 0 или x−31 = 0.
х₁ = 2,1 х₂ = 31.
ответ: 2,1; 31.
5) Сократи дробь (x−4)²/(x²+2x−24) = (x−4)²/((x + 6)(x − 4)) = (х - 4)/(х + 6).
Полученная дробь: (х - 4)/(х + 6).
6)Сократи дробь (5x²−32x+12)/(x³−216).
5x²−32x+12 = 0; D = b² - 4ac = 1024 - 480 = 784; √D = 28.
x₁ = (32 + 28)/10 = 6; x₂ = (32 - 28)/10 = 0,4
Имеем: (5x²−32x+12)/(x³−216) = ((x - 6)(5x - 2))/((x - 6)(x² + 6x + 36)) =
= (5x - 2)/(x² + 6x + 36).
7) Разложи на множители квадратный трехчлен x² + 8x + 15.
x² + 8x + 15 = 0; x₁ = -3; x₂ = -5.
имеем, x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5).