Обозначим центр основания конуса O, вершину - C. Опустим из C высоту - она попадет в точку O. В плоскости основания проведем любой радиус OA. Соединим точки C и A. Тогда CA - образующая конуса, OA - радиус основания конуса и CO - высота конуса. Треугольник COA - прямоугольный, в котором известны угол CAO, равный 60°, и гипотенуза CA, равная 6/√π. При этом катет OA является радиусом основания конуса R.
Полная поверхность конуса складывается из площади основания и площади боковой поверхности конуса. Площадь основания - это площадь круга с радиусом R, т.е. πR². Площадь боковой поверхности прямого конуса определяется по формуле πRL, где R - радиус основания, а L - длина образующей.
Значит, площадь полной поверхности конуса S равна πR²+πRL = πR(R+L).
L=6/√π R определим из прямоугольного треугольника COA: OA/CA=cos∠CAO ⇒ OA=CA*cos∠CAO. ∠CAO=60° ⇒ cos∠CAO=cos60°=1/2 ⇒ OA=R=CA*cos∠SAO=L/2=3/√π
Рассмотрим левую часть: 4sina*sin(п/3+a)*sin(п/3-a) = 4sina*(sin(п/3)*cos(a) + cos(п/3)*sin(a)) * (sin(п/3)*cos(a) - cos(п/3)*sin(a)) = (в двух последних скобках - это произведение суммы и разности двух чисел: (a-b)(a+b)=a²-b², воспользуемся этой формулой и раскроем скобки) = 4sina*( sin² (п/3)*cos² (a) - cos² (п/3) * sin² (a) ) =
4sina*( 1/4*cos² (a) – 3/4 * sin² (a) ) = (сокращаем на 4, и воспользуемся тем что соs² = 1-sin² ) = sina*( 1 – sin² (a) - 3*sin² (a)) = sina*( 1 –4*sin² (a))
Тогда CA - образующая конуса, OA - радиус основания конуса и CO - высота конуса.
Треугольник COA - прямоугольный, в котором известны угол CAO, равный 60°, и гипотенуза CA, равная 6/√π. При этом катет OA является радиусом основания конуса R.
Полная поверхность конуса складывается из площади основания и площади боковой поверхности конуса.
Площадь основания - это площадь круга с радиусом R, т.е. πR².
Площадь боковой поверхности прямого конуса определяется по формуле πRL, где R - радиус основания, а L - длина образующей.
Значит, площадь полной поверхности конуса S равна πR²+πRL = πR(R+L).
L=6/√π
R определим из прямоугольного треугольника COA: OA/CA=cos∠CAO ⇒ OA=CA*cos∠CAO.
∠CAO=60° ⇒ cos∠CAO=cos60°=1/2 ⇒ OA=R=CA*cos∠SAO=L/2=3/√π
S = πR(R+L) = π(6/√π)(3/√π+6/√π) = 6√π(9/√π) = 54
4sina*sin(п/3+a)*sin(п/3-a)=sin3a
Рассмотрим левую часть: 4sina*sin(п/3+a)*sin(п/3-a) = 4sina*(sin(п/3)*cos(a) + cos(п/3)*sin(a)) * (sin(п/3)*cos(a) - cos(п/3)*sin(a)) = (в двух последних скобках - это произведение суммы и разности двух чисел: (a-b)(a+b)=a²-b², воспользуемся этой формулой и раскроем скобки) = 4sina*( sin² (п/3)*cos² (a) - cos² (п/3) * sin² (a) ) =
4sina*( 1/4*cos² (a) – 3/4 * sin² (a) ) = (сокращаем на 4, и воспользуемся тем что соs² = 1-sin² ) = sina*( 1 – sin² (a) - 3*sin² (a)) = sina*( 1 –4*sin² (a))
Рассмотрим правую часть: sin3a= sina – 4*sin³ (a)) = sina*( 1 –4*sin² (a))
Следовательно, выражения в левой и правой частях тождественно равны.