Човен пройшов 22 км за течією річки i 15 км проти течії, витративши 5 годин на весь шлях. Знайти власну швидкість човна, якщо швидкість течії дорівнює 3 км/год. У відповідь записати тільки число. ( )
Сначала упростим. Как видно из тригонометрического круга, который я приложила к ответу, 7π/2 - это 3π+π/2 или 2π+π+π/2 2π-совпадает с углом "0", поэтому его смело можно им заменить, т.е.: 2π+π+π/2=0+π+π/2=π+π/2. Получаем выражение: 20cos(7π/2+a)=20cos(π+π/2+a)=20cos(π+(π/2+a)).
Примечание: Если мы к углам пи или 2пи прибавляем (или отнимаем) какой-то угол, то тригонометрическая функция не меняется (косинус остаётся косинусом, а синус-синусом), а если мы прибавляем (или отнимаем) какой-то угол от углов пи/2 или 3пи/2, то косинус меняется на синус, к примеру:cos(пи/2 + 30°)=косинус во второй четверти меньше нуля-ставим минус и угол пи/2 - поэтому косинус меняем на синус= -sin30°.
В нашем случае прибавляемый угол = π/2+a
Воспользуемся вышеописанными правилами: 20cos(π+(π/2+a)) Как видно из тригонометрического круга, если к пи прибавлять какой-либо угол, то он будет находиться в 3 четверти, где косинус отрицательный, поэтому ставим минус перед нашим выражением. Из примечания также следует: 20cos(π+(π/2+a)) = -20cos(π/2+a)
Теперь разложим косинус как косинус суммы: cos(x+y)=cosx*cosy-sinx*siny
Применим данную формулу для нашего случая: -20cos(π/2+a)=-20*(сosπ/2*cosa-sinπ/2*sina) Опять же из тригонометрического гура видно, что косинус π/2 = 0, поэтому первое слагаемое превращается в ноль, а sinπ/2=1. В связи с этим запишем: -20*(сosπ/2*cosa-sinπ/2*sina)=-20(0-1*sina)=-20*(-sina)=20sina.
Мы знаем, что cosa=-7/25. Из тригонометрической единицы (cos²а+sin²а=1) Найдём sina:sin²а=1-cos²а=1-(-7/25)²=1-49/625=625/625 - 49/625 = (625-49)*625=576/625 значит sina=√(576/625)=24/25.
В итоге получим: 20sina=20*24/25=4*24/5=19,2-это и будет ответ.
F(x)=-x³+3x²-4. 1. Область определения функции: x∈R (функция определена на x∈(-∞;+∞). 2. Четность/нечетность: f(-x)=-(-x)³+3(-x)²-4=x³+3x²-4≠f(x)≠-f(x) - функция ни четная, ни нечетная. 3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения. 4. Поведение функции при x→+-∞: при x→-∞, f(x)→+∞; при x→+∞, f(x)→-∞. 5. Производная функции: f'(x)=(-x³+3x²-4)'=-(x³)'+3*(x²)'-4'=-3x²+3*2x-0=-3x²+6x. 6. Экстремумы функции: f'(x)=0, -3x²+6x=0 ⇒ x²-2x=0 ⇒ x(x-2)=0 ⇒ x=0 и x=2. 7. Монотонность (промежутки возрастания и убывания) функции: при x∈(-∞;0], f'(x)<0 - функция убывает, при x∈[0;2], f'(x)>0 - функция возрастает, при x∈[2;+∞), f'(x)<0 - функция убывает. Следовательно x=0 - точка минимума, x=2 - точка максимума. 8. Пересечение графика функции с осями координат: с осью абсцисс, f(x)=0 ⇒ -x³+3x²-4=0 ⇒ x=-1 и x=2, получим точки (-1;0) и (2;0); с осью ординат, x=0, f(x)=-4, получим точку (0;-4). 9. Строим график (см. в приложении)
2π-совпадает с углом "0", поэтому его смело можно им заменить, т.е.:
2π+π+π/2=0+π+π/2=π+π/2.
Получаем выражение:
20cos(7π/2+a)=20cos(π+π/2+a)=20cos(π+(π/2+a)).
Примечание:
Если мы к углам пи или 2пи прибавляем (или отнимаем) какой-то угол, то тригонометрическая функция не меняется (косинус остаётся косинусом, а синус-синусом), а если мы прибавляем (или отнимаем) какой-то угол от углов пи/2 или 3пи/2, то косинус меняется на синус, к примеру:cos(пи/2 + 30°)=косинус во второй четверти меньше нуля-ставим минус и угол пи/2 - поэтому косинус меняем на синус= -sin30°.
В нашем случае прибавляемый угол = π/2+a
Воспользуемся вышеописанными правилами:
20cos(π+(π/2+a))
Как видно из тригонометрического круга, если к пи прибавлять какой-либо угол, то он будет находиться в 3 четверти, где косинус отрицательный, поэтому ставим минус перед нашим выражением. Из примечания также следует:
20cos(π+(π/2+a)) = -20cos(π/2+a)
Теперь разложим косинус как косинус суммы:
cos(x+y)=cosx*cosy-sinx*siny
Применим данную формулу для нашего случая:
-20cos(π/2+a)=-20*(сosπ/2*cosa-sinπ/2*sina)
Опять же из тригонометрического гура видно, что косинус π/2 = 0, поэтому первое слагаемое превращается в ноль, а sinπ/2=1. В связи с этим запишем:
-20*(сosπ/2*cosa-sinπ/2*sina)=-20(0-1*sina)=-20*(-sina)=20sina.
Мы знаем, что cosa=-7/25. Из тригонометрической единицы
(cos²а+sin²а=1) Найдём sina:sin²а=1-cos²а=1-(-7/25)²=1-49/625=625/625 - 49/625 = (625-49)*625=576/625
значит sina=√(576/625)=24/25.
В итоге получим:
20sina=20*24/25=4*24/5=19,2-это и будет ответ.
1. Область определения функции: x∈R (функция определена на x∈(-∞;+∞).
2. Четность/нечетность: f(-x)=-(-x)³+3(-x)²-4=x³+3x²-4≠f(x)≠-f(x) - функция ни четная, ни нечетная.
3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
4. Поведение функции при x→+-∞: при x→-∞, f(x)→+∞; при x→+∞, f(x)→-∞.
5. Производная функции: f'(x)=(-x³+3x²-4)'=-(x³)'+3*(x²)'-4'=-3x²+3*2x-0=-3x²+6x.
6. Экстремумы функции: f'(x)=0, -3x²+6x=0 ⇒ x²-2x=0 ⇒ x(x-2)=0 ⇒ x=0 и x=2.
7. Монотонность (промежутки возрастания и убывания) функции: при x∈(-∞;0], f'(x)<0 - функция убывает, при x∈[0;2], f'(x)>0 - функция возрастает, при x∈[2;+∞), f'(x)<0 - функция убывает. Следовательно x=0 - точка минимума, x=2 - точка максимума.
8. Пересечение графика функции с осями координат: с осью абсцисс, f(x)=0 ⇒ -x³+3x²-4=0 ⇒ x=-1 и x=2, получим точки (-1;0) и (2;0); с осью ординат, x=0, f(x)=-4, получим точку (0;-4).
9. Строим график (см. в приложении)