Дана шоколадка 8 х 8, в которой левая нижняя долька отравлена (на рисунке отмечена красным). За один ход необходимо выбрать несъеденную дольку (на рисунке для примера
отмечена тёмно-серым) и съесть её, а также съесть все ещё не съеденные дольки,
расположенные в прямоугольнике из клеток выше и правее неё (на рисунке отмечены серым).
Проигрывает тот, кто должен съесть отравленную дольку. Придумайте выигрышную стратегию
за одного из игроков, основанную на симметрии.
кто выиграет при правильной игре (первый или второй)?
сколько клеток в итоге он съест?
Будем обозначать дольки аналогично точкам на координатной плоскости в виде пары координат (a; b), где a - номер столбца, b - номер строки.
1. Пусть первый игрок первым ходом ест дольку (2; 2) и все дольки, выше и правее этой. Таким образом, он съест дольки в виде квадрата 7х7, то есть 49 долек.
2. Заметим, что второй игрок на своем ходе может съесть либо дольку (1; y) и все дольки выше нее, либо дольку (x; 1) и все дольки, правее нее.
Стратегия первого игрока следующая. Если второй игрок на своем ходе ест дольку (1; N) и все дольки выше нее, то первый игрок после этого ест дольку (N; 1) и все дольки, правее нее. А если второй игрок на своем ходе ест дольку (N; 1) и все дольки правее нее, то первый игрок после этого ест дольку (1; N) и все дольки, выше нее. Другими словами, если второй игрок ест дольки из первого столбца, то первый игрок ест столько же долек из первой строки, и наоборот, если второй игрок ест дольки из первой строки, то первый игрок ест столько же долек из первого столбца.
После первого хода первого игрока в игре осталось 64-49=15 долек. Одна из них отравленная, поэтому неотравленных долек в игре оставалось 15-1=14. Эти 14 долек первый и второй игрок съедят поровну, то есть каждый съест по 14:2=7 долек.
3. После нескольких таких пар ходов, когда каждый из игроков съест по 7 долек, в игре останется одна отравленная долька. В этот момент ход перейдет ко второму игроку, соответственно он и проиграет.
Таким образом, выигрывает первый игрок, причем всего он съест 49+7=56 долек.
ответ: выиграет первый игрок, съев 56 долек