Представим каждое выражение в виде: 1+(14-1)+(14-1)^2+(14-1)^3+(14-1)^2007 в биноме ньютона (a+b)^n каждый из членов кроме b^n помножен на a. Это в целом ясно я напишу (x-a)(x-a)(x-a)*(x-a) Ясно что все переумножения кроме (-a)^n будут помножены на x Таким образом все члены выражения (14-1)^n делятся на 14 и соответственно на 7. кроме последнего члена (-1)^n Таким образом если в нашей сумме обозначить за S-сумму всех членов кратных 7(она делится на 7 то получим: S+1+(-1)^1 +(-1)^2+(-1)^3+(-1)^2007 S+1-1+1-1+1-1 число 2007 нечетное то все единици взаимноуничтожаются Но тогда выходит что это выражение равно S,то есть делится на 7 !! То есть оказывается сумма делится на 7 а вот при 2008 уже не делилось бы. Проверьте условие S
Обозначим (х+у)= u, (xy)=v x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)=(x+y)·((x+y)²-3xy) Выразим из второго уравнения v=5-u и подставим в первое уравнение: (5-u)³+u³-3u·(5-u)=17, 125-75u+15u²-u³+u³-15u+3u²=17 18u²-90u+108=0 u²-5u+6=0 D=5²-4·6=25-24=1 u₁=(5-1)/2=2 или u₂=(5+1)/2=3 тогда v₁=5-u₁=5-2=3 или v₂=5-u₂=5-3=2
или
В первой системе выразим y=2-x из первого уравнения и подставим во второе: x·(2-x)=3 или х²- 2х+3=0 уравнение не имеет корней, так как D=4-12<0
Во второй системе выразим y=3-x и подставим во второе: х(3-х)=2, х²-3х+2=0 D=(-3)²-4·2=9-8=1 x₁=(3-1)/2=1 или х₂ = (3+1)/2=2 тогда у₁=3-х₁=3-1=2 или у₂=3-х₂=3-2=1 ответ. (1;2) (2;1) № 2 Так как 25х²-4у²=(5х-2у)(5х+2у), то сделаем замену переменной (5х+2у)=u (5x-2y)=v Решаем систему Выразим из второго уравнения u=(24-3v)/4 и подставим в первое (24-3v)v/4=12 или 24v-3v²-48=0 v²-8v+16=0 (v-4)²=0 v=4 тогда u=(24-3v)/4=(24-12)/4=12/4=3
1+(14-1)+(14-1)^2+(14-1)^3+(14-1)^2007
в биноме ньютона (a+b)^n каждый из членов
кроме b^n помножен на a.
Это в целом ясно я напишу
(x-a)(x-a)(x-a)*(x-a)
Ясно что все переумножения кроме (-a)^n будут помножены на x
Таким образом все члены выражения (14-1)^n делятся на 14 и соответственно на 7. кроме последнего члена (-1)^n
Таким образом если в нашей сумме обозначить за S-сумму всех членов кратных 7(она делится на 7 то получим:
S+1+(-1)^1 +(-1)^2+(-1)^3+(-1)^2007
S+1-1+1-1+1-1 число 2007 нечетное то все единици взаимноуничтожаются
Но тогда выходит что это выражение равно S,то есть делится на 7 !! То есть оказывается сумма делится на 7 а вот при 2008 уже не делилось бы. Проверьте условие
S
Обозначим (х+у)= u, (xy)=v
x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)=(x+y)·((x+y)²-3xy)
Выразим из второго уравнения
v=5-u
и подставим в первое уравнение:
(5-u)³+u³-3u·(5-u)=17,
125-75u+15u²-u³+u³-15u+3u²=17
18u²-90u+108=0
u²-5u+6=0
D=5²-4·6=25-24=1
u₁=(5-1)/2=2 или u₂=(5+1)/2=3
тогда
v₁=5-u₁=5-2=3 или v₂=5-u₂=5-3=2
или
В первой системе выразим y=2-x из первого уравнения и подставим во второе:
x·(2-x)=3 или х²- 2х+3=0 уравнение не имеет корней, так как D=4-12<0
Во второй системе выразим y=3-x и подставим во второе:
х(3-х)=2,
х²-3х+2=0
D=(-3)²-4·2=9-8=1
x₁=(3-1)/2=1 или х₂ = (3+1)/2=2
тогда
у₁=3-х₁=3-1=2 или у₂=3-х₂=3-2=1
ответ. (1;2) (2;1)
№ 2
Так как 25х²-4у²=(5х-2у)(5х+2у), то сделаем замену переменной
(5х+2у)=u
(5x-2y)=v
Решаем систему
Выразим из второго уравнения u=(24-3v)/4 и подставим в первое
(24-3v)v/4=12
или
24v-3v²-48=0
v²-8v+16=0
(v-4)²=0
v=4
тогда u=(24-3v)/4=(24-12)/4=12/4=3
Решаем систему:
Складываем уравнения:
10х=7
х=0,7
y=(3-5x)/2=(3-3,5)/2=-0,25
ответ. (0,7 ; -0,25)