Доведіть нерівність (а – 10)2 – 12 < (а – 7)(а – 13)

У=3х²  - парабола, ветви направлены вверх.

Чтобы проверить через какие точки проходит график, необходимо подставить эти точки в график и если получится равное тождество, значит точка принадлежит графику. Если нет, то точка не принадлежит графику функции.

A(1;3)
x=1  y=3
3*1²=3 - верное равенство A(1; 3) ∈ графику.

B(0;3)
3*0≠3 - точка B(0; 3) ∉ графику

С(2;12)
 3*2²=12 - точка С(2; 12) ∈ графику

D(-1;-12)
3*(-1)²≠-12 - точка D (-1; -12) ∉ графику

Е(5;0)
3*5²≠0 - точка E(5; 0) ∉ графику

F(-3;27)
3*(-3)²=27 точка F(-3; 27) ∈ графику

К(27;3)
3*(27)²≠3 точка К(27;3) ∉ графику

ответ графику принадлежат точки A, C, F

Чтобы квадратное уравнение имело корни, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля( 2 корня) или равен нулю ( 1 корень).
(a - 3)*x^2 - 2(3a - 4)*x + 7a - 6 = 0;
Слегка преобразуем уравнение:
(a-3)*x^2 + (8-6a)*x + (7a - 6) =0;
Тогда коэффициенты для нахождения дискриминанта будут такие:
a  = a - 3;   b = 8 - 6a ;   c = 7a - 6;
 D = b^2 - 4ac = (8-6a)^2 - 4*(a-3)(7a - 6)=
=64 - 96a + 36 a^2 - 4(7a^2 - 21a - 6a + 18) =
= 36a^2 - 96 a + 64 - 28a^2 + 108 a - 72 = 
=8a^ + 12 a - 8 .
D ≥ 0;  следовательно   8a^2 + 12a - 8 ≥ 0; сократим на 2 и получим:
4a^2 + 6a - 4 ≥ 0;
D = 36 + 64 = 100= 10^2;
a1 = (-6 + 10) /8 = 1/2;
a2 = (-6-10)/ 8 = - 2. Разложим выражение на множители:
4(a - 1/2)(a +2) ≥ 0;Используем метод интервалов ( точки закрашены, так как в условии не сказано, что 2 корня, а просто, что есть корни., то есть может 2 , а может и 1 корень)

                 +                  -                           +
(-2)(1/2) a
a ∈ ( - бесконечность; -2] U [1/2; + бесконечность)