В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
GOLUM34ruS
GOLUM34ruS
09.03.2021 14:40 •  Алгебра

F(x)=\frac{x^{5} }{5} -\frac{x^{4} }{4} +\frac{x^{3} }{3} +\frac{x^{2} }{2} -2x+1

(a; a+\frac{1}{3} )

Показать ответ
Ответ:
Косалинааа
Косалинааа
09.09.2020 06:59

Ну \frac{x^n}{n} указывает на то, что надо бы производную брать для исследования этой функции, ибо она красивая получается.

f'(x)=x^4-x^3+x^2+x-2;

Далее, для исследования исходной функции на возрастание/убывание необходимо найти нули производной, то есть f'(x)=0;

x^4-x^3+x^2+x-2=0;

Сумма коэффициентов в уравнении равно 0, значит, x=1 - корень

Попробуем разложить выражение, заранее зная корень.

x^4-x^3+x^2+x-2=x^4-x^3+x^2-x+2x-2=\\ =x^3(x-1)+x(x-1)+2(x-1)=(x-1)(x^3+x+2)

Теперь нужно проанализировать правую скобку x^3+x+2=0;

Сумма коэффициентов при четных (2) и нечетных (1+1=2) степенях равна, значит, x=-1 - корень. x^3+x+2=x^3+x^2-x^2-x+2x+2=x^2(x+1)-x(x+1)+2(x+1)=\\ =(x+1)(x^2-x+2)

Осталась последняя скобка в разложении, найдем дискриминант уравнения

x^2-x+2=0; D=(-1)^2-4*1*2=1-8=-70 при любых х.

Итоговое разложение f'(x)=(x-1)(x+1)(x^2-x+2)

Нули производной известны, это x=\pm1

Везде при х коэффициент равен 1 (у правой скобки нет нулей, её мы считаем просто каким-то положительным числом), значит, в самом правом промежутке "+", а дальше чередование.

Имеем при \boxed {x \in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty)} возрастание f(x), а при \boxed {x\in(-1;1)} убывание f(x),

x=-1 - точка локального максимума,

x=1 - точка локального минимума.

Убывание должно быть на интервале (a; a+\frac{1}{3}), поэтому если параметр захватит точки экстремума - ничего страшного, интервал как раз не включает концы.

С одной стороны, a\geq -1, как раз при a=-1 убывание на (-1;-\frac{2}{3}) выполняется.

С другой стороны, a+\frac{1}{3}\leq 1; a\leq \frac{2}{3}, при a=-\frac{2}{3} убывание продолжается вплоть до x=1, не включая эту точку.

Объединяя наши условия, получаем $1\leq a\leq \frac{2}{3} \Rightarrow a\in[1;\frac{2}{3}]

ответ: \boxed {a\in[1;\frac{2}{3}]}

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота