Контрольная работа «Элементы комбинаторики»

Вариант 1

Задача 1 Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, не превышающих 530? Выпишите эти числа. Решить, используя дерево возможных вариантов или метод перебора.

Задача 2 В ресторанном меню есть выбор из 5-ти первых блюд, 3-х салатов, 7-ми вторых блюд, 3-х десертов. Сколькими можно составить заказ, если он должен содержать первое блюдо, второе блюдо, салат и десерт?

Задача 3 Электрик должен проверить проводку в 6 домах. Сколькими он может это сделать?

Задача 4 Сколько можно составить двузначных или трёхзначных чисел из нечётных цифр, при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Задача 5 Из 15 членов туристической группы нужно выбрать 3-х дежурных, одного повара и ещё 2-х человек, которые должны развести костёр. Сколькими это можно сделать?

Дополнительные задачи (на отдельную оценку)

Сколько может быть случаев выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек?

У одного человека имеется 7 книг, а у другого – 9. Сколькими они могут обменять друг у друга две книги на две книги?

Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

1. См графическое решение.
Строим график у=2х+5х³ - кубическая парабола возрастающая на (-∞;∞)
и график у=х⁸-4х⁴+4
Находим y`=8x⁷-16x³
y`=0
8x⁷-16x³=0
8x³(x⁴-2)=0
x=0  x= - √(√2)   x=√(√2) - точки возможных экстремумов
х= - √(√2)  и  х=√(√2) - точки минимума, производная  при переходе через эти точки меняет знак с - на +.
у(-√(√2))=у(√(√2))=0
х=0- точка максимума, производная при переходе через точку меняет знак с + на -.
у(0)=4

Одна точка пересечения
х≈0,75
у=3
Найдем абсциссы точек пересечения графика у=х⁸-4х⁴+4 с прямой у=3.
Решим уравнение:
х⁸-4х⁴+4=3
Замена переменной
х⁴=t
t²-4t+1=0
D=16-4=12
t=(4-2√3)/2 =2-√3         или          t=2+√3

x⁴=2-√3                       или              х⁴=2+√3
х²=√(2-√3)                                      х₂=√(2+√3)
х₁=-√(√(√(2-√3))) или х₂=√(√(√(2-√3))) или х₃=-√(√(√(2+√3)))  или х₄=√(√(√(2+√3)))

См. рисунок.
х₂=√(√(√2(-√3))) - корень уравнения.

О т в е т.√(√(√(2-√3)))=

2.
3²⁵⁶-1=(3¹²⁸)²-1²=(3¹²⁸+1)(3¹²⁸-1)=(3¹²⁸+1)·((3⁶⁴)²-1²)=
(3¹²⁸+1)·(3⁶⁴+1)·(3⁶⁴-1)=...=
=(3¹²⁸+1)(3⁶⁴+1)(3³²+1)(3¹⁶+1)(3⁸+1)(3⁴+1)(3²+1)(3²-1)=
=(3¹²⁸+1)(3⁶⁴+1)(3³²+1)(3¹⁶+1)(3⁸+1)(3⁴+1)(3²+1)·8
Уравнение примет вид:
8·(3²+1)·(3⁴+1)·(3⁸+1)·(3¹⁶+1)·(3³²+1)·(3⁶⁴+1)·(3¹²⁸+1)=
=(3¹²⁸+1)(3⁶⁴+1)(3³²+1)(3¹⁶+1)(3⁸+1)(3⁴+1)(3²+1)·8
имеет корень х=1
О т в е т. х=1

1/(x²-3x-3) + 5/(x²-3x+1)=2
ОДЗ : (x²-3x-3)≠0 (x²-3x+1)≠0
2(3x²-9x-7)/((x²-3x-3)(x²-3x+1)) = 2
(2(3x²-9x-7) - 2(x²-3x-3)(x²-3x+1))/((x²-3x-3)(x²-3x+1)) = 0
Получим систему:
{2(3x²-9x-7) - 2(x²-3x-3)(x²-3x+1) = 0
{(x²-3x-3)(x²-3x+1) ≠ 0
1. 2(3x²-9x-7) - 2(x²-3x-3)(x²-3x+1) = 0
5x²-18x-14 = 2x⁴-12x³+14x²+12x-6
-2x⁴+12x³-8x²-30x-8=0
-2(x-4)(x+1)(x²-3x-1) = 0
Произведение = 0, если хотя бы 1 из множителей = 0
(x-4) = 0
x₁ = 4
x+1 = 0
x₂ = -1
x²-3x-1 = 0
D = 9+4 = 13
x₃ = (3+√(13))/2 ∉ ОДЗ
x₄ = (3-√(13))/2 ∉ ОДЗ
2. (x²-3x-3)(x²-3x+1) ≠ 0
x²-3x-3 ≠ 0
Отсюда корни уравнения x₃ и x₄ не подходят.
(x²-3x+1) ≠ 0
x ≠ (3-√5)/2
x ≠ (3+√5)/2
ответ: -1; 4

2. (3x²+8x-3)/(x+3)=x²-x+2
ОДЗ: (x+3) ≠ 0 ⇒ x ≠ -3
((3x²+8x-3) - (x²-2+2))/(x+3) = 0
{(3x²+8x-3) - (x²-2+2)(x+3) = 0
{(x+3) ≠ 0 Но мы это уже указали в ОДЗ, так что необязательно.
(3x²+8x-3) - (x²-2+2)(x+3) = 0
3x²+8x-3=x³+2x²-x+6
-x³+x²+9x9x=0
(x-3)(x-1)(x+3) = 0
x-3 = 0
x₁ = 3
x-1 = 0
x₂ = 1
x+3 = 0
x₃ = -3 ∉ ОДЗ
ответ: 3; 1