Лестница длиной 2,5 метров приставлена к стене так, что ее верхний конец находится на расстоянии 2,4 м от земли. На сколько метров отстоит от стены нижний конец лестницы?
1) 3sinx-√3 cosx=3; Уравнения вида asinx+bcosx=c решаются следующим образом: 1) нужно разделить обе части уравнения на выражение √(a²+b²); a=3, b=-√3; √(3²+(-√3)²)=√(9+3)=√12=2√3; 2) получаем уравнение вида √3/2sinx-1/2cosx=√3/2; (√3/2=cosπ/6, 1/2=sinπ/6); Далее используем формулу сложения (сумму или разность для синуса): sinx*cosπ/6-cosx*sinπ/6=√3/2; sin(x-π/6)=√3/2; x-π/6=(-1)^(k)*arcsin(√3/2)+πk, k∈Z; x-π/6=(-1)^(k)*π/3+πk,k∈Z; x=(-1)^(k)*π/3+π/6+πk, k∈Z. ответ: (-1)^(k)*π/3+π/6+πk, k∈Z.
Во втором уравнении несколько сложней, так как получаются не табличные значения. Для уравнения вида asinx+bcosx=c есть равносильное уравнение sin(x+α)=c/√(a²+b²), где α=arccos a/√(a²+b²), α=arcsin b/√(a²+b²), α=arctg b/a. 2) 4sinx+6cosx=1; a=4, b=6, √(4²+6²)=√(16+36)=√52=2√13; В этом уравнении удобнее взять α=arctg b/a=arctg 6/4=arctg 3/2. Получаем sin(x+arctg 3/2)=√13/26; x=(-1)^(k)*arcsin √13/26-arctg 3/2+πk, k∈Z. ответ: (-1)^(k)*arcsin √13/26-arctg 3/2+πk, k∈Z.
х² + 2•1•6х + 36 - 16 = 0
(х + 6)² - 4² = 0
(х + 6 - 4)•(х + 6 + 4) = 0
Произведение множителей тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
х + 2 = 0
х + 10 = 0
х = -2
х = -10
ответ: х = -10; -2.
б) у² + 14у + 24 = 0
у² + 2•1•7у + 49 - 25 = 0
(у + 7)² - 5² = 0
(у + 7 - 5)(у + 7 + 5) = 0
у + 2 = 0
у + 12 = 0
у = -2
у = -12.
ответ: у = -2; -12.
в) z² - 6z + 9 = 0
Тут уже полный квадрат, поэтому свернем:
(z - 3)² = 0
z - 3 = 0
z = 3
ответ: z = 3.
г) y² - 2y + 3 = 0
y² - 2y + 1 + 2 = 0
(y - 1)² + 2 = 0
(y - 1)² = -2
Нет корней, т.к. квадрат любого числа - неотрицательное число.
ответ: нет корней.
Уравнения вида asinx+bcosx=c решаются следующим образом:
1) нужно разделить обе части уравнения на выражение √(a²+b²);
a=3, b=-√3; √(3²+(-√3)²)=√(9+3)=√12=2√3;
2) получаем уравнение вида
√3/2sinx-1/2cosx=√3/2; (√3/2=cosπ/6, 1/2=sinπ/6);
Далее используем формулу сложения (сумму или разность для синуса):
sinx*cosπ/6-cosx*sinπ/6=√3/2;
sin(x-π/6)=√3/2;
x-π/6=(-1)^(k)*arcsin(√3/2)+πk, k∈Z;
x-π/6=(-1)^(k)*π/3+πk,k∈Z;
x=(-1)^(k)*π/3+π/6+πk, k∈Z.
ответ: (-1)^(k)*π/3+π/6+πk, k∈Z.
Во втором уравнении несколько сложней, так как получаются не табличные значения.
Для уравнения вида asinx+bcosx=c есть равносильное уравнение
sin(x+α)=c/√(a²+b²), где α=arccos a/√(a²+b²), α=arcsin b/√(a²+b²), α=arctg b/a.
2) 4sinx+6cosx=1;
a=4, b=6, √(4²+6²)=√(16+36)=√52=2√13;
В этом уравнении удобнее взять α=arctg b/a=arctg 6/4=arctg 3/2.
Получаем
sin(x+arctg 3/2)=√13/26;
x=(-1)^(k)*arcsin √13/26-arctg 3/2+πk, k∈Z.
ответ: (-1)^(k)*arcsin √13/26-arctg 3/2+πk, k∈Z.