x^2+2ax+2a-1=0
найдём дискриминант
D=(2a)^2-4*1*(2a-1)=4aa-8a+4=(2a-2)^2
нас интересует только когда существует два корня уравнения ,
а значит D>0 , это выполняется когда a не равно 1
тогда первый корень будет равен
(-2a+D^(1/2)):2=(-2a+2a-2):2=-1
второй корень уравнения равен
(-2а-D(1/2)):2=(-2a-(2a-2)):2=(-4a+2):2=-2a+1
соотношение корней равно 3:1
(-1):(-2a+1)=3:1
2a-1=1/3
2a=1+1/3
2a=4/3
a=2/3 - это решение проверим, подставив а=2/3,
получаем уравнение:
x^2+(4/3)x +1/3=0
корни этого уравнения равны -1 и -1/3
(-2а+1):(-1)=3:1
2а-1=3
2а=4
а=2
проверим решение, подставив а=2
получим уравнение
x^2+4x+3=0
корни этого уравнения -1 и -3
ответ: при а=2 и а=2/3
4 корня
Объяснение:
2sin(3x)*sin(x) + cos(2x) + 2 = 0; x € [-Π/2; 3Π/2]
Формулы:
sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)
cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)
Подставляем формулы в уравнение:
2sin(x)*(3sin(x) - 4sin^3(x)) + 1 - 2sin^2(x) + 2 = 0
6sin^2(x) - 8sin^4(x) - 2sin^2(x) + 3 = 0
8sin^4(x) - 4sin^2(x) - 3 = 0
Получили биквадратное уравнение относительно sin(x).
Сделаем замену sin^2(x) = y ≥ 0 при любом х.
8y^2 - 4y - 3 = 0
D/4 = 2^2 - 8*(-3) = 4 + 24 = 28 = (2√7)^2
y1 = (2 - 2√7)/8 < 0 - не подходит.
y2 = (2 + 2√7)/8 = (1 + √7)/4
Возвращаемся к переменной х
sin^2(x) = (1+√7)/4
1) sin x = -√((1+√7)/4)
x1 = -arcsin [√((1+√7)/4)] + 2Πn, n € Z
x2 = π + arcsin[√((1+√7)/4)] + 2Πn, n € Z
2) sin x = √((1+√7)/4)
x3 = arcsin[√((1+√7)/4)] + 2Πk, k € Z
x4 = π - arcsin[√((1+√7)/4)] + 2Πk, k € Z
Теперь нам надо найти количество корней на промежутке [-Π/2; 3Π/2]
Найдем, в какую четверть попадает каждый из корней. Обозначим:
t = √((1+√7)/4) ≈ 0,95
Можно и не вычислять, самое главное, что t € (0; 1)
arcsin(0,95) ≈ 72° = 2Π/5
Тоже можно не вычислять, главное, что arcsin t € (0, Π/2)
x1 = -arcsin t € (-Π/2; 0)
x2 = Π + arcsin t € (Π; 3Π/2)
x3 = arcsin t € (0; Π/2)
x4 = Π - arcsin t € (Π/2; Π)
Как видим, все 4 корня попадают во все 4 четверти, то есть в промежуток.
x^2+2ax+2a-1=0
найдём дискриминант
D=(2a)^2-4*1*(2a-1)=4aa-8a+4=(2a-2)^2
нас интересует только когда существует два корня уравнения ,
а значит D>0 , это выполняется когда a не равно 1
тогда первый корень будет равен
(-2a+D^(1/2)):2=(-2a+2a-2):2=-1
второй корень уравнения равен
(-2а-D(1/2)):2=(-2a-(2a-2)):2=(-4a+2):2=-2a+1
соотношение корней равно 3:1
(-1):(-2a+1)=3:1
2a-1=1/3
2a=1+1/3
2a=4/3
a=2/3 - это решение проверим, подставив а=2/3,
получаем уравнение:
x^2+(4/3)x +1/3=0
корни этого уравнения равны -1 и -1/3
(-2а+1):(-1)=3:1
2а-1=3
2а=4
а=2
проверим решение, подставив а=2
получим уравнение
x^2+4x+3=0
корни этого уравнения -1 и -3
ответ: при а=2 и а=2/3
4 корня
Объяснение:
2sin(3x)*sin(x) + cos(2x) + 2 = 0; x € [-Π/2; 3Π/2]
Формулы:
sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)
cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)
Подставляем формулы в уравнение:
2sin(x)*(3sin(x) - 4sin^3(x)) + 1 - 2sin^2(x) + 2 = 0
6sin^2(x) - 8sin^4(x) - 2sin^2(x) + 3 = 0
8sin^4(x) - 4sin^2(x) - 3 = 0
Получили биквадратное уравнение относительно sin(x).
Сделаем замену sin^2(x) = y ≥ 0 при любом х.
8y^2 - 4y - 3 = 0
D/4 = 2^2 - 8*(-3) = 4 + 24 = 28 = (2√7)^2
y1 = (2 - 2√7)/8 < 0 - не подходит.
y2 = (2 + 2√7)/8 = (1 + √7)/4
Возвращаемся к переменной х
sin^2(x) = (1+√7)/4
1) sin x = -√((1+√7)/4)
x1 = -arcsin [√((1+√7)/4)] + 2Πn, n € Z
x2 = π + arcsin[√((1+√7)/4)] + 2Πn, n € Z
2) sin x = √((1+√7)/4)
x3 = arcsin[√((1+√7)/4)] + 2Πk, k € Z
x4 = π - arcsin[√((1+√7)/4)] + 2Πk, k € Z
Теперь нам надо найти количество корней на промежутке [-Π/2; 3Π/2]
Найдем, в какую четверть попадает каждый из корней. Обозначим:
t = √((1+√7)/4) ≈ 0,95
Можно и не вычислять, самое главное, что t € (0; 1)
arcsin(0,95) ≈ 72° = 2Π/5
Тоже можно не вычислять, главное, что arcsin t € (0, Π/2)
x1 = -arcsin t € (-Π/2; 0)
x2 = Π + arcsin t € (Π; 3Π/2)
x3 = arcsin t € (0; Π/2)
x4 = Π - arcsin t € (Π/2; Π)
Как видим, все 4 корня попадают во все 4 четверти, то есть в промежуток.