Найдите функцию y(x), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
и такую что y(1)=1
В ответе укажите значение найденной Вами функции в точке

Показать ответ

Ответ:

ника1700

30.07.2022 22:27

Объяснение:

Проверим, является ли левая часть полным дифференциалом некоторой функции u(x, y). Пусть P = x²y² + y, Q = 2x³y - x. Левая часть является полным дифференциалом, если $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ :

$\dfrac{\partial P}{\partial y}=2x^2y+1,\dfrac{\partial Q}{\partial x}=6x^2y-1$

Левая часть не является полным дифференциалом. Подберём интегрирующий множитель t=t(x) такой, чтобы при домножении на него обеих частей уравнения выполнялось равенство $\dfrac{\partial}{\partial y}(P\cdot t)=\dfrac{\partial}{\partial x}(Q\cdot t)$ , то есть левая часть стала полным дифференциалом. Так как мы ищем функцию от x, при дифференцировании по y мы считаем её, как константу:

$\dfrac{\partial P}{\partial y}\cdot t=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\cdot t + \dfrac{dt}{dx}\cdot Q\\\dfrac{dt}{dx}\cdot Q=\dfrac{\partial P}{\partial y}\cdot t-\dfrac{\partial Q}{\partial x}\cdot t\\\dfrac{dt}{t}=\dfrac{\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}}{Q}dx\\\dfrac{dt}{t}=\dfrac{2x^2y+1-6x^2y+1}{2x^3y-x}dx\\\dfrac{dt}{t}=\dfrac{-4x^2y+2}{2x^3y-x}dx\\\dfrac{dt}{t}=-\dfrac{2dx}{x}\\\ln{|t|}=-2\ln|x|\\t=x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}$

При домножении на t получаем:

$\left(y^2+\dfrac{y}{x^2}\right)dx+\left(2xy-\dfrac{1}{x}\right)dy=0$

Это уравнение в полных дифференциалах. Подберём функцию u(x, y) такую, что $du=0\Leftrightarrow u=C$ . Из определения дифференциала функции двух переменных следует, что $Pt=y^2+\dfrac{y}{x^2}$ — частная производная по x. Тогда $\displaystyle u=\int {\dfrac{\partial u}{\partial x}}dx=\int \left(y^2+\dfrac{y}{x^2}\right)dx=xy^2-\dfrac{y}{x}+\varphi (y)$ , где $\varphi (y)$ — константа, зависящая от y (поскольку функция была от двух переменных, а проинтегрировали мы только по x). Также из определения дифференциала: