1) Производная функции f(x)=4x-sinx+1 равна f'(x) = 4 - cos(x). Значения функции и производной в заданной точке Хо = 0 равны: f(0) = 4*0 - 0 + 1 = 1 f'(x) = 4 - 1 = 3 Тогда уравнение касательной: Укас = 1 + 3*(Х - 0) = 3Х + 1.
2) Производная функции f(x) = (1 - x) / (x^2 + 8) равна: f'(x) = (x^2 - 2x - 8) / (x^2 + 8)^2. Так как в знаменателе квадрат, то отрицательной производная может быть при отрицательном числителе. Для этого находим критические точки: x^2 - 2x - 8 = 0 Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*1*(-8)=4-4*(-8)=4-(-4*8)=4-(-32)=4+32=36; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√36-(-2))/(2*1)=(6-(-2))/2=(6+2)/2=8/2=4; x_2=(-√36-(-2))/(2*1)=(-6-(-2))/2=(-6+2)/2=-4/2=-2. Поэтому ответ: f'(x) < 0 при -2 <x < 4.
В решении.
Объяснение:
1) Сократить дробь:
а) 39х³у/26х²у²=
сократить (разделить) 39 и 26 на 13, х³ и х² на х², у² и у на у:
=3х/2у;
б) 5у/(у²-2у) = 5у/у(у-2) =
сократить (разделить) у и у на у:
= 5/(у-2);
в) (3а-3b)/(a²-b²)=
в числителе вынести 3 за скобки, в знаменателе разность квадратов, развернуть:
=3(a-b)/(a-b)(a+b)=
сократить (разделить) (a-b) и (a-b) на (a-b):
=3/(a+b).
2) Представить в виде дроби:
а) (3-2а)/2а - (1-а²)/а²=
общий знаменатель 2а², надписываем над числителями дополнительные множители:
= [а*(3-2а) - 2*(1-а²)] / 2a²=
=(3а-2а²-2+2а²) / 2a²=
=(3а-2)/2a²;
б) 1/(3х+у) - 1/(3х-у)=
общий знаменатель (3х+у)(3х-у), надписываем над числителями дополнительные множители:
= [(3х-у)*1 - (3х+у)*1] / (3х+у)(3х-у)=
=(3х-у-3х-у) / (3х+у)(3х-у)=
разность квадратов в знаменателе свернуть:
= -2у/(9х²-у²);
в) (4-3в)/(в²-2в) + 3/(в-2)=
= (4-3в)/в(в-2) + 3/(в-2)=
общий знаменатель в(в-2), надписываем над числителями дополнительные множители:
= [1*(4-3в) + в*3] / в(в-2)=
=(4-3в+3в) / в(в-2)=
= 4/в(в-2).
3) Найти значение выражения:
(х-6у²)/2у + 3у= при х= -8; у=0,1
=(х-6у²+6у²)/2у=
=х/2у=
= -8/0,2=
= -40.
4) Упростить:
2/(х-4) - (х+8)/(х²-16) - 1/х= 16/х(х²-16)
=2/(х-4) - (х+8)/(х-4)(х+4) - 1/х=
общий знаменатель х(х-4)(х+4), надписываем над числителями дополнительные множители:
=[х(х+4)*2 - х(х+8) - (х-4)(х+4)*1] / х(х-4)(х+4)=
=(2х²+8х-х²-8х-х²+16) / х(х-4)(х+4)=
разность квадратов в знаменателе свернуть:
= 16/х(х²-16)
Значения функции и производной в заданной точке Хо = 0 равны:
f(0) = 4*0 - 0 + 1 = 1
f'(x) = 4 - 1 = 3
Тогда уравнение касательной:
Укас = 1 + 3*(Х - 0) = 3Х + 1.
2) Производная функции f(x) = (1 - x) / (x^2 + 8) равна:
f'(x) = (x^2 - 2x - 8) / (x^2 + 8)^2.
Так как в знаменателе квадрат, то отрицательной производная может быть при отрицательном числителе.
Для этого находим критические точки:
x^2 - 2x - 8 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*1*(-8)=4-4*(-8)=4-(-4*8)=4-(-32)=4+32=36;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√36-(-2))/(2*1)=(6-(-2))/2=(6+2)/2=8/2=4;
x_2=(-√36-(-2))/(2*1)=(-6-(-2))/2=(-6+2)/2=-4/2=-2.
Поэтому ответ: f'(x) < 0 при -2 <x < 4.