Объяснение:
1) Обозначим три последовательных числа: a, a+1, a+2.
Хотя бы одно из них делится на 2.
Если a нечетно, то a+1 четно и делится на 2. Если же a четно, то оно делится на 2.
Хотя бы одно из них делится на 3.
Их произведение делится на 2 и на 3, то есть делится на 6.
2) A = 3^15*6^21*4^40 = 3^15*2^21*3^21*2^80 = 2^101*3^36
B = 2^17*6^23*5^10 = 2^17*2^23*3^23*5^10 = 2^40*3^23*5^10
НОД - это произведение общих простых множителей в наименьших степенях.
НОД(A, B) = 2^40*3^23
НОК - это произведение всех простых множителей в наибольших степенях.
НОК(A, B) = 2^101*3^36*5^10
3) 3x + 12y = 20
Слева можно вынести за скобки общий множитель 3.
3(x + 4y) = 20
Но число справа 20 не делится на 3.
Поэтому это уравнение не имеет решений в целых числах.
4) y = (3x-7)/(x-1)
Выделим целую часть у дроби в правой части
y = (3x-3-4)/(x-1) = (3(x-1) - 4)/(x-1) = 3 - 4/(x-1)
Чтобы y был целым, нужно, чтобы 4 делилось нацело на (x-1).
А это возможно только в таких случаях:
x - 1 = 1; x = 2; y = 3 - 4/1 = -1
x - 1 = 2; x = 3; y = 3 - 4/2 = 1
x - 1 = 4; x = 5; y = 3 - 4/4 = 2
ответ: (2; -1); (3; 1); (5; 2)
5) n^5 + 17n + 10^5 + 2 делится на 3.
Заметим сразу, что 10^5 + 2 = 100002 делится на 3, потому что сумма цифр равна 3.
Докажем, что n^5 + 17n кратна 3. Тогда сумма этих чисел тоже делится на 3.
n^5 + 17n = n*(n^4 + 17)
Если n делится на 3, то задача решена.
Если n делится на 3 с остатком 1, то обозначим n = 3k+1.
(3k+1)^4 + 17 = (3k)^4 + 4*(3k)^3*1 + 6*(3k)^2*1^2 + 4*(3k)*1^3 + 1^4 + 17 =
= 81k^4 + 4*27k^3 + 6*9k^2 + 4*3k + 18
Это число делится на 3, потому что каждое слагаемое делится на 3.
Если n делится на 3 с остатком 2, то обозначим n = 3k+2.
(3k+2)^4 + 17 = (3k)^4 + 4*(3k)^3*2 + 6*(3k)^2*2^2 + 4*(3k)*2^3 + 2^4 + 17 =
= 81k^4 + 8*27k^3 + 24*9k^2 + 32*3k + 33
Таким образом, мы получили:
Если n делится на 3 с остатком 1 или 2, в обоих случаях n^4 + 17 делится на 3.
Отсюда вывод: число n^5 + 17n + 10^5 + 2 делится на 3 при любом n.
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5
2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2
5*y = 10
x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3
1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1
2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2
3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5
2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100
3x + 5y + 7z + 9v = 116
3x - 5y + 7z - 9v = -40
-2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11
x - 3*z^2 = 0
2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3
x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5
2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2
sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1
x^y = 3^12
Объяснение:
1) Обозначим три последовательных числа: a, a+1, a+2.
Хотя бы одно из них делится на 2.
Если a нечетно, то a+1 четно и делится на 2. Если же a четно, то оно делится на 2.
Хотя бы одно из них делится на 3.
Их произведение делится на 2 и на 3, то есть делится на 6.
2) A = 3^15*6^21*4^40 = 3^15*2^21*3^21*2^80 = 2^101*3^36
B = 2^17*6^23*5^10 = 2^17*2^23*3^23*5^10 = 2^40*3^23*5^10
НОД - это произведение общих простых множителей в наименьших степенях.
НОД(A, B) = 2^40*3^23
НОК - это произведение всех простых множителей в наибольших степенях.
НОК(A, B) = 2^101*3^36*5^10
3) 3x + 12y = 20
Слева можно вынести за скобки общий множитель 3.
3(x + 4y) = 20
Но число справа 20 не делится на 3.
Поэтому это уравнение не имеет решений в целых числах.
4) y = (3x-7)/(x-1)
Выделим целую часть у дроби в правой части
y = (3x-3-4)/(x-1) = (3(x-1) - 4)/(x-1) = 3 - 4/(x-1)
Чтобы y был целым, нужно, чтобы 4 делилось нацело на (x-1).
А это возможно только в таких случаях:
x - 1 = 1; x = 2; y = 3 - 4/1 = -1
x - 1 = 2; x = 3; y = 3 - 4/2 = 1
x - 1 = 4; x = 5; y = 3 - 4/4 = 2
ответ: (2; -1); (3; 1); (5; 2)
5) n^5 + 17n + 10^5 + 2 делится на 3.
Заметим сразу, что 10^5 + 2 = 100002 делится на 3, потому что сумма цифр равна 3.
Докажем, что n^5 + 17n кратна 3. Тогда сумма этих чисел тоже делится на 3.
n^5 + 17n = n*(n^4 + 17)
Если n делится на 3, то задача решена.
Если n делится на 3 с остатком 1, то обозначим n = 3k+1.
(3k+1)^4 + 17 = (3k)^4 + 4*(3k)^3*1 + 6*(3k)^2*1^2 + 4*(3k)*1^3 + 1^4 + 17 =
= 81k^4 + 4*27k^3 + 6*9k^2 + 4*3k + 18
Это число делится на 3, потому что каждое слагаемое делится на 3.
Если n делится на 3 с остатком 2, то обозначим n = 3k+2.
(3k+2)^4 + 17 = (3k)^4 + 4*(3k)^3*2 + 6*(3k)^2*2^2 + 4*(3k)*2^3 + 2^4 + 17 =
= 81k^4 + 8*27k^3 + 24*9k^2 + 32*3k + 33
Это число делится на 3, потому что каждое слагаемое делится на 3.
Таким образом, мы получили:
Если n делится на 3 с остатком 1 или 2, в обоих случаях n^4 + 17 делится на 3.
Отсюда вывод: число n^5 + 17n + 10^5 + 2 делится на 3 при любом n.
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5
2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2
5*y = 10
x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3
1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1
2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2
3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5
2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100
3x + 5y + 7z + 9v = 116
3x - 5y + 7z - 9v = -40
-2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11
x - 3*z^2 = 0
2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3
x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5
2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2
sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1
x^y = 3^12
Объяснение: