Не решая уравнение x² - 3|x|+ 1=0, найдите сумму квадратов всех его корней.
ответ: 14
Объяснение:
x≥0 ⇒ x²- 3x+1=0 D =3² - 4*1 = 5 > 0 имеет действительных корней
x₁² +x₂² = (x₁ +x₂)² -2x₁*x₂ = 3² -2*1 = 7
x< 0 ⇒ x²+3x+1=0 , пусть корни x₃ и x₄
x₃² +x₄² = (-x₁)² + (-x₂)² = x₁² +x₂² = 7
следовательно :
x₁² +x₂² +x₃² +x₄² =2(x₁² +x₂²) =2*7 =14
* * * Корни кв. уравнений ax² − bx+ c =0 и ax² + bx+ c =0
противоположных знаков , но по модулю равные * * *
ответ: x1^2+x2^2+x3^2+x4^2 = 14
Объяснение
x^2-3*|x|+1=0
x^2=|x|^2
|x|^2 -3*|x|+ 1= 0
Замена: |x|=t>=0
t^2-3t+1=0
По теореме Виета :
t1*t2=1
t1+t2=3
t1^2+t2^2 = (t1+t2)^2 -2*t1*t2 = 3^2 -2*1 = 7
Если произведение чисел положительно , то они имеют одинаковый знак , но поскольку их сумма так же положительна , то оба этих числа положительны. И очевидно ,что корни не равны нулю.
А значит для каждого t возможно два значения x :
x1=t1
x2=-t1
x3=t2
x4=-t2
Сумма квадратов всех корней :
x1^2+x2^2+x3^2+x4^2 = 2* (t1^2+t2^2) = 2*7=14
Не решая уравнение x² - 3|x|+ 1=0, найдите сумму квадратов всех его корней.
ответ: 14
Объяснение:
x≥0 ⇒ x²- 3x+1=0 D =3² - 4*1 = 5 > 0 имеет действительных корней
x₁² +x₂² = (x₁ +x₂)² -2x₁*x₂ = 3² -2*1 = 7
x< 0 ⇒ x²+3x+1=0 , пусть корни x₃ и x₄
x₃² +x₄² = (-x₁)² + (-x₂)² = x₁² +x₂² = 7
следовательно :
x₁² +x₂² +x₃² +x₄² =2(x₁² +x₂²) =2*7 =14
* * * Корни кв. уравнений ax² − bx+ c =0 и ax² + bx+ c =0
противоположных знаков , но по модулю равные * * *
ответ: x1^2+x2^2+x3^2+x4^2 = 14
Объяснение
x^2-3*|x|+1=0
x^2=|x|^2
|x|^2 -3*|x|+ 1= 0
Замена: |x|=t>=0
t^2-3t+1=0
По теореме Виета :
t1*t2=1
t1+t2=3
t1^2+t2^2 = (t1+t2)^2 -2*t1*t2 = 3^2 -2*1 = 7
Если произведение чисел положительно , то они имеют одинаковый знак , но поскольку их сумма так же положительна , то оба этих числа положительны. И очевидно ,что корни не равны нулю.
А значит для каждого t возможно два значения x :
x1=t1
x2=-t1
x3=t2
x4=-t2
Сумма квадратов всех корней :
x1^2+x2^2+x3^2+x4^2 = 2* (t1^2+t2^2) = 2*7=14