Нужно упростить, но фотомач ничего не может сделать :(( В 8 задании(2 скрин) я упростил основное выражение. Но вышло так, что оно выглядит еще труднее (фотомач постарался)
Заметим, что число (10a + b)^100 дает такой же остаток при делении на 1000, что и b^100 (вспоминаем бином и начинаем раскладывать: слагаемые, содержащие 10a в степени 3 или больше точно делятся на 10^3, а остальные можно и выписать, получив (10a + b)^100 = b^100 + 100 * 10a * b^99 + 100 * 99 / 2 * (10a)^2 * b^98 + ...)
Итак, сумма дает такой же остаток от деления на 1000, что и (1^100 + 2^100 + ... + 10^100) * 100. Таким образом, нам нужно знать лишь последнюю цифру суммы 1^100 + 2^100 + ... + 9^100 (10^100 точно кончается на 0).
Задачу себе можно упростить, заметив, что x^100 кончается на ту же цифру, что и (10 - x)^100 [для обоснования тоже можно воспользоваться биномом]. Тогда последняя цифра такая же, что и у 2 * (1^100 + 2^100 + 3^100 + 4^100) + 5^100
1^100 кончается на 1 2^100 = ((2^5)^5)^4 кончается на то же, что и 2^4, т.е. на 6, т.к. 2^5 = 32 кончается на 2 3^100 = (3^4)^25 = 81^25 кончается на 1 4^100 = 2^200 = ((2^5)^5) кончается на то же, что 2^8 = 256, т.е. на 6 5^100 кончается на 5
Итого, последняя цифра такая же, что и у 2 * (1 + 6 + 1 + 6) + 5 = 33, т.е. 3 Тогда 100 * (...) кончается на 300.
(График немного неправильный. Когда я его рисовал, то у меня зачело в голову, что точка касания это (1;1). Загрузить другой не могу с телефона)
Давайте повернем систему координат на 90° против часовой стрелки.
Тогда график х = у² будет выглядеть так же как и график у = х², но в привычной системе координат.
Так как касательная имеет вид у = -2х - 1, то и у нашей новой касательной коэффициенты k и b будут иметь модули 2 и 1 соответственно.
Ясно, что b = -1, так как прямую надо "спустить" вниз.
А вот теперь загвоздка с k.
По идее надо взять 2, так как наша касательная проходит справа от графика. Но нет. Нужно взять именно 2, так как при повороте системы координат ось Оу направилась влево, значит коэффициент k надо сменить на противоположный. Всё. Получили уравнение х = -2у - 1.
Итак, сумма дает такой же остаток от деления на 1000, что и
(1^100 + 2^100 + ... + 10^100) * 100. Таким образом, нам нужно знать лишь последнюю цифру суммы 1^100 + 2^100 + ... + 9^100 (10^100 точно кончается на 0).
Задачу себе можно упростить, заметив, что x^100 кончается на ту же цифру, что и (10 - x)^100 [для обоснования тоже можно воспользоваться биномом]. Тогда последняя цифра такая же, что и у 2 * (1^100 + 2^100 + 3^100 + 4^100) + 5^100
1^100 кончается на 1
2^100 = ((2^5)^5)^4 кончается на то же, что и 2^4, т.е. на 6, т.к. 2^5 = 32 кончается на 2
3^100 = (3^4)^25 = 81^25 кончается на 1
4^100 = 2^200 = ((2^5)^5) кончается на то же, что 2^8 = 256, т.е. на 6
5^100 кончается на 5
Итого, последняя цифра такая же, что и у 2 * (1 + 6 + 1 + 6) + 5 = 33, т.е. 3
Тогда 100 * (...) кончается на 300.
ответ. 300.
Давайте повернем систему координат на 90° против часовой стрелки.
Тогда график х = у² будет выглядеть так же как и график у = х², но в привычной системе координат.
Так как касательная имеет вид у = -2х - 1, то и у нашей новой касательной коэффициенты k и b будут иметь модули 2 и 1 соответственно.
Ясно, что b = -1, так как прямую надо "спустить" вниз.
А вот теперь загвоздка с k.
По идее надо взять 2, так как наша касательная проходит справа от графика. Но нет. Нужно взять именно 2, так как при повороте системы координат ось Оу направилась влево, значит коэффициент k надо сменить на противоположный.
Всё. Получили уравнение х = -2у - 1.
Выразим у: у = -½х - ½