1) из одного уравнения мы находим выражение одного из неизвестных, например x, через известные величины и другое неизвестное у,
2) найденное выражение подставляем во второе уравнение, в котором после этой подстановки будет содержаться только одно неизвестное у;
3) решаем полученное уравнение и находим значение у; 4) подставляя найденное значение у в выражение неизвестного x, найденное в начале решения, получаем значение х.
Пример. Решить систему уравнений:
8x – 3y = 46, 5x + 6y = 13.
1) Из первого уравнения находим выражение х через данные числа и неизвестное у:2) Подставляем это выражение во второе уравнение:3) Решаем полученное уравнение:
4) Найденное значение y = - 2 подставляем в выражение ; получаем, т.е. x = 5.
б сложения или вычитания состоит в том, что:
1) обе части одного уравнения умножаются на некоторый множитель; обе части второго уравнения умножаются на другой множитель. Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях после их умножения на эти множители имели одну, и ту же абсолютную величину.
2) Складываем два уравнения или вычитаем их друг из друга, смотря по тому, имеют ли уравненные коэффициенты различные или одинаковые знаки; этим одно из неизвестных исключается.
3) Решаем полученное уравнение с одним неизвестным.
4) Другое неизвестное можно найти тем же приемом, но обычно, проще всего подставить найденное значение первого неизвестного в любое из данных уравнений и решить получившееся уравнение с одним неизвестным.
Пример. Решить систему уравнений:
8x – 3y = 46, 5x + 6y = 13.
1) Проще всего уравнять абсолютные величины коэффициентов при у; обе части первого уравнения умножим на 2; обе части второго - на 1, т. е. оставляем второе уравнение неизменным:2) Складываем два уравнения:3) Решаем полученное уравнение:4) Подставляем значение x = 5 в первое уравнение; имеем: 40 - 3y = 46; - 3y = 46 – 40; - 3y = 6. Отсюда сложения и вычитания следует предпочесть другим
1) когда в данных уравнениях абсолютные величины коэффициентов при одном из неизвестных равны (тогда первый из этапов решения становится ненужным);
2) когда сразу видно, что числовые коэффициенты при одном из неизвестных уравниваются с небольших целочисленных множителей;
3) когда коэффициенты уравнений содержат буквенные выражения.
Пример. Решить систему:
(a + c)x – (a – с)y = 2ab, (a + b)x – (a - c)y = 2ac.
1) Уравниваем коэффициенты при х, помножая обе части первого уравнения на (a + b), а второго на (а + с), получаем:
(a + c)(a +b)x – (a + b)(a - c)y = 2ab(a + b), (a +c)(a +b)x – (a-b)(a + c)y = 2ac(a +c).
2) Вычитаем из первого уравнения второе; получаем:
[(a - b)(a + c) – (a + b)(a - c)]y = 2ab(a + b) – 2ac(a + c).
3) Решаем полученное уравнение:Это выражение можно значительно упростить, для чего однако, потребуются довольно долгие преобразования. В числителе и знаменателе раскроем скобки,4) Чтобы найти x, уравняем коэффициенты при y в исходных уравнениях, помножив первое на (a - b), второе на (a - с). Вычтя одно полученное уравнение из другого, решим уравнение с одним неизвестным; найдем:Выполняя такие же преобразования, как в предыдущем пункте, получим х = b + c - a. Подстановка значения y d одно из исходных уравнений потребовала бы более утомительных вычислений; п
4sin²x-2sinxcosx-3(sin²x+cos²x)=0
4sin²x-2sinxcosx-3sin²x-3cos²x=0
sin²x-2sinxcosx-3cos²x=0 |÷cos²x
tg²x-2tgx-3=0
tgx=t
t²-2t-3=0
t₁+t₂=2 t₁t₂=-3
t₁=-1 tgx=-1 x=arctg(-1)+πn x=-arctg1+πn x=-π/4+πn, n∈Z
t₂=3 tgx=3 x=arctg3+πk, k∈Z
2)3(cos²x-sin²x)+sin²x+5sinxcosx=0
3cos²x-3sin²x+sin²x+5sinxcosx=0
3cos²x-2sin²x+5sinxcosx=0 |÷cos²x
3-2tg²x+5tgx=0
tgx=t
3-2t²+5t=0
2t²-5t-3=0
D=25-4·2·(-3)=49
t₁=(5-7)/4=-1/2 tgx=-1/2 x=arctg(-1/2)+πn x=-arctg1/2+πn n∈Z
t₂=(5+7)/4=3 tgx=3 x=arctg3+πk k∈Z
1) из одного уравнения мы находим выражение одного из неизвестных, например x, через известные величины и другое неизвестное у,
2) найденное выражение подставляем во второе уравнение, в котором после этой подстановки будет содержаться только одно неизвестное у;
3) решаем полученное уравнение и находим значение у; 4) подставляя найденное значение у в выражение неизвестного x, найденное в начале решения, получаем значение х.
Пример. Решить систему уравнений:8x – 3y = 46,
1) Из первого уравнения находим выражение х через данные числа и неизвестное у:2) Подставляем это выражение во второе уравнение:3) Решаем полученное уравнение:5x + 6y = 13.
5(46+3y)/8 + 48y/8 = 13,
5(46+3y) + 48y = 104,
230 + 15y + 48y = 104,
15y+48y = 104 – 230,
63y = - 126, y = - 2.
4) Найденное значение y = - 2 подставляем в выражение ; получаем, т.е. x = 5.
б сложения или вычитания состоит в том, что:1) обе части одного уравнения умножаются на некоторый множитель; обе части второго уравнения умножаются на другой множитель. Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях после их умножения на эти множители имели одну, и ту же абсолютную величину.
2) Складываем два уравнения или вычитаем их друг из друга, смотря по тому, имеют ли уравненные коэффициенты различные или одинаковые знаки; этим одно из неизвестных исключается.
3) Решаем полученное уравнение с одним неизвестным.
4) Другое неизвестное можно найти тем же приемом, но обычно, проще всего подставить найденное значение первого неизвестного в любое из данных уравнений и решить получившееся уравнение с одним неизвестным.
Пример. Решить систему уравнений:8x – 3y = 46,
1) Проще всего уравнять абсолютные величины коэффициентов при у; обе части первого уравнения умножим на 2; обе части второго - на 1, т. е. оставляем второе уравнение неизменным:2) Складываем два уравнения:3) Решаем полученное уравнение:4) Подставляем значение x = 5 в первое уравнение;5x + 6y = 13.
имеем:
40 - 3y = 46; - 3y = 46 – 40; - 3y = 6.
Отсюда
сложения и вычитания следует предпочесть другим
1) когда в данных уравнениях абсолютные величины коэффициентов при одном из неизвестных равны (тогда первый из этапов решения становится ненужным);
2) когда сразу видно, что числовые коэффициенты при одном из неизвестных уравниваются с небольших целочисленных множителей;
3) когда коэффициенты уравнений содержат буквенные выражения.
Пример. Решить систему:(a + c)x – (a – с)y = 2ab,
1) Уравниваем коэффициенты при х, помножая обе части первого уравнения на (a + b), а второго на (а + с), получаем:(a + b)x – (a - c)y = 2ac.
(a + c)(a +b)x – (a + b)(a - c)y = 2ab(a + b),
2) Вычитаем из первого уравнения второе; получаем:(a +c)(a +b)x – (a-b)(a + c)y = 2ac(a +c).
[(a - b)(a + c) – (a + b)(a - c)]y = 2ab(a + b) – 2ac(a + c).
3) Решаем полученное уравнение:Это выражение можно значительно упростить, для чего однако, потребуются довольно долгие преобразования. В числителе и знаменателе раскроем скобки,4) Чтобы найти x, уравняем коэффициенты при y в исходных уравнениях, помножив первое на (a - b), второе на (a - с). Вычтя одно полученное уравнение из другого, решим уравнение с одним неизвестным; найдем:Выполняя такие же преобразования, как в предыдущем пункте, получим х = b + c - a. Подстановка значения y d одно из исходных уравнений потребовала бы более утомительных вычислений; п