у = ах² + bx + с -(а ≠ 0) - квадратичная функция, графиком которой является парабола.
Координаты вершины параболы находят так: х₀ = -b/(2а), а у₀ находят, подставив в формулу, задающую функцию, вместо переменной х значение х₀.
Однако, в данном случае использовать формулы для нахождения координат вершины параболы трудоемко, т.к. графики указанных функций легче получить сдвигом графика функции у = х² вдоль оси Ох или оси Оу.
Вершина параболы у = х² - это точка (0; 0).
Поэтому:
1) для функции y = x² + 7: график данной функции можно получить сдвигом графика функции у = х² на 7 единиц вверх, т.е. (0; 7) - вершина параболы;
2) для функции y = (x + 8)² : график данной функции можно получить сдвигом графика функции у = х² на 8 единиц влево, т.е. (-8; 0) - вершина параболы;
3) для функции y = (x - 6)² + 9: график данной функции можно получить сдвигом графика функции у = х² на 6 единиц вправо и на 9 единиц вверх, т.е. (6; 9) - вершина параболы.
Графики указанных функций строят так:
- строят график функции у = х² по точкам:
если х = ±1, то у = 1; если х = ±2, то у = 4; если х = ±3, то у = 9;
- "сдвигают" эти точки на нужное количество единиц вдоль осей Оу и Ох.
у = ах² + bx + с -(а ≠ 0) - квадратичная функция, графиком которой является парабола.
Координаты вершины параболы находят так: х₀ = -b/(2а), а у₀ находят, подставив в формулу, задающую функцию, вместо переменной х значение х₀.
Однако, в данном случае использовать формулы для нахождения координат вершины параболы трудоемко, т.к. графики указанных функций легче получить сдвигом графика функции у = х² вдоль оси Ох или оси Оу.
Вершина параболы у = х² - это точка (0; 0).
Поэтому:
1) для функции y = x² + 7: график данной функции можно получить сдвигом графика функции у = х² на 7 единиц вверх, т.е. (0; 7) - вершина параболы;
2) для функции y = (x + 8)² : график данной функции можно получить сдвигом графика функции у = х² на 8 единиц влево, т.е. (-8; 0) - вершина параболы;
3) для функции y = (x - 6)² + 9: график данной функции можно получить сдвигом графика функции у = х² на 6 единиц вправо и на 9 единиц вверх, т.е. (6; 9) - вершина параболы.
Графики указанных функций строят так:
- строят график функции у = х² по точкам:
если х = ±1, то у = 1; если х = ±2, то у = 4; если х = ±3, то у = 9;
- "сдвигают" эти точки на нужное количество единиц вдоль осей Оу и Ох.
См. рисунок
у = х² - синего цвета
у = х² + 7 - красного
у = (х + 8)² - фиолетового
у = (х - 6)² + 9 - коричневого
2x^2 - xy - y^2 = 5 |*3
5x^2 - 5xy + 5y^2 = 15
6x^2 - 3xy - 3y^2 = 15 |(2)-(1)
x^2 + 2xy - 8y^2 = 0
Подставляя значение х = 0 и y = 0 в исходную систему, убеждаемся, что (0; 0) не является её решением. Поэтому можем почтенно разделить полученное уравнение на xy.
x/y + 2 - 8y/x = 0
Замена x/y = t, t <> 0
t + 2 - 8/t = 0 | *t
t^2 + 2t - 8 = 0
По теореме Виета: t1 = -4, t2 = 2.
При t = -4: x/y = -4 или x = -4y.
Подставляем в первое уравнение исходной системы:
(-4y)^2 - (-4y)*y + y^2 = 3
21y^2 = 3
y = (+/-) 1/sqrt7
x = (-/+) 4/sqrt7
При t = 2: x/y = 2 или x = 2y.
Подставляем в первое уравнение исходной системы:
(2y)^2 - 2y*y + y^2 = 3
3y^2 = 3
y = (+/-) 1
x = (+/-) 2
ответ: (1/sqrt7; -4/sqrt7), (-1/sqrt7; 4/sqrt7), (1; 2), (-1; -2).