Значение параметра а, при котором уравнение |x²-3ax|=a, имеет три корня ровно.
Решение. Значение параметра а >0 так как при a<0 уравнение не имеет решения. x²-3ax - является уравнением параболы с ветвями направленными вверх и пересекающей ось Ох в точках (0;0) и (3а;0). Так как а>0 то вторая точка находится в первой четверти координатной плоскости. Модуль выражения x²-3ax -является той же параболой у которой участок параболы находящийся ниже оси Ох зеркально отображен вверх над осью Ох. Данное уравнение имеет только три решения если прямая у =а пересекает ветви параболы у =x²-3ax и одновременно касается вершины параболы на участке 0<x<3a(зеркально отображенном относительно оси Ох). Найдем координаты (xo;yo) вершины параболы у =x²-3ax xo = 1,5a yo = (1,5)²a² -3*1,5a = -1,5²a² Вершина нашей параболы у =|x²-3ax| находится в точке xo = 1,5a yo = |-1,5²a²| =1,5²a² =(3/2)²a² =(9/4)a² =9a²/4 Так как прямая у=a касается вершины параболы то запишем уравнение 9a²/4 =а 9а/4 =1 a = 4/9 ответ: 4/9
При построении графиков функций более сложного вида можно примерно придерживаться следующего плана: 1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть - вся числовая ось. 2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной - функция не является ни чётной, ни нечётной . 3. Выяснить, является ли функция периодической - нет. 4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции): х = 0 у = 2 - пересечение оси у, у = 0 х³ +3х + 2 = 0 х = -0,596072. 5. Найти асимптоты графика - их нет. 6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки. Для этого находим производную и приравниваем её 0: f'(x) = 3x² + 3 = 0. 3(x² + 1) = 0 x² = -1 решения нет, нет критических точек. 7. Найти промежутки монотонности функции - производная в любой точке положительна, функция на всей числовой оси возрастающая. 8. Определить экстремумы функции f(x) - их нет. 9. Вычислить вторую производную f''(x): f'(x) = 6x = 0 х = 0. 10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба: от -∞ до 0 - график выпуклый, от 0 до ∞ - вогнутый. Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый 11. Построить график, используя полученные результаты исследования - дан в приложении.
Решение.
Значение параметра а >0 так как при a<0 уравнение не имеет решения.
x²-3ax - является уравнением параболы с ветвями направленными вверх и пересекающей ось Ох в точках (0;0) и (3а;0). Так как а>0 то вторая точка находится в первой четверти координатной плоскости. Модуль выражения x²-3ax -является той же параболой у которой участок параболы находящийся ниже оси Ох зеркально отображен вверх над осью Ох.
Данное уравнение имеет только три решения если прямая у =а пересекает ветви параболы у =x²-3ax и одновременно касается вершины параболы на участке 0<x<3a(зеркально отображенном относительно оси Ох).
Найдем координаты (xo;yo) вершины параболы у =x²-3ax
xo = 1,5a
yo = (1,5)²a² -3*1,5a = -1,5²a²
Вершина нашей параболы у =|x²-3ax| находится в точке
xo = 1,5a
yo = |-1,5²a²| =1,5²a² =(3/2)²a² =(9/4)a² =9a²/4
Так как прямая у=a касается вершины параболы то запишем уравнение
9a²/4 =а
9а/4 =1
a = 4/9
ответ: 4/9
1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть - вся числовая ось.
2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной - функция не является ни чётной, ни нечётной .
3. Выяснить, является ли функция периодической - нет.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции):
х = 0 у = 2 - пересечение оси у,
у = 0 х³ +3х + 2 = 0 х = -0,596072.
5. Найти асимптоты графика - их нет.
6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.
Для этого находим производную и приравниваем её 0:
f'(x) = 3x² + 3 = 0.
3(x² + 1) = 0
x² = -1 решения нет, нет критических точек.
7. Найти промежутки монотонности функции - производная в любой точке положительна, функция на всей числовой оси возрастающая.
8. Определить экстремумы функции f(x) - их нет.
9. Вычислить вторую производную f''(x):
f'(x) = 6x = 0 х = 0.
10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба:
от -∞ до 0 - график выпуклый, от 0 до ∞ - вогнутый.
Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый
11. Построить график, используя полученные результаты исследования - дан в приложении.