Необходимо было решить 2 первые задачи из документа, но я решил ещё и параметр, который мне понравился.
12. Необходимо решить уравнение
Формула двойного угла
А также , как известно, добавление или вычитание целого периода из аргумента тригонометрической функции ничего не меняет.
Так как в выражении в скобках присутствует половинный аргумент при , то косинус поменяется на синус, знак будет отрицательным, потому что если считать, что находится в первой координатной четверти, то при вычислении выражения в скобках значение будет в третьей четверти, где обе функции отрицательны.
Получаем уравнение , которое поделим на
Первая часть готова, осталось проанализировать каждую серию решений на принадлежность промежутку
Здесь подойдут
Анализируем 2 оставшиеся серии:
Здесь уже необходимо рассматривать отдельно.
Первое с "+" возьмем:
В последней серии решений та же логика, просто исходно дробь будет со знаком "-", значит, в обе части двойного неравенства пойдет с "+"
Теперь можно записывать ответ:
Переходим к 13. Это неравенство.
Сразу видно, что можно заменить на переменную, и тогда неравенство станет куда проще.
Если знаменатель больше нуля, то и неравенство будет больше 0. Особый случай - когда числитель равен 1, но , поэтому решением этого неравенство является
Возвращаемся к замене и решаем относительно :
Тогда получается, что и для любого неравенство выполняется.
ответ:
Решение задачи с параметром прикрепляю отдельным документом, так как мне не хватило ограничения на 5000 символов, к сожалению (
Для того, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, мы сперва должны построить их на графике
Теперь мы видим, что функцией y = 0, наша искомая фигура разбивается на две симметричные. Их площадь будет равна, то есть для того, чтобы вычислить площадь фигуры, нам достаточно найти площадь одной её половины и умножить на "2".
Получается, площадь равна удвоенному интегралу функции х^3 от 2 до 0.
2 * инт (х^3)dx = 2 * (x^4)/4.
Подставляем наши границы "2" и "0": 2 * (x^4)/4 = 2 * ((2^4)/4 - (0^4)/4) = 2 * 4 = 8.
Необходимо было решить 2 первые задачи из документа, но я решил ещё и параметр, который мне понравился.
12. Необходимо решить уравнение
Формула двойного угла![sin \ 2x = 2 \ sinx \cdot cosx](/tpl/images/1354/0763/7a952.png)
А также
, как известно, добавление или вычитание целого периода из аргумента тригонометрической функции ничего не меняет.
Так как в выражении в скобках присутствует половинный аргумент при
, то косинус поменяется на синус, знак будет отрицательным, потому что если считать, что
находится в первой координатной четверти, то при вычислении выражения в скобках значение будет в третьей четверти, где обе функции отрицательны.
Получаем уравнение
, которое поделим на ![\sqrt{2}](/tpl/images/1354/0763/7e821.png)
Первая часть готова, осталось проанализировать каждую серию решений на принадлежность промежутку![\displaystyle \bigg[-\pi; \frac{3\pi}{2}\bigg]](/tpl/images/1354/0763/31165.png)
Здесь подойдут![k=-1; \ k=0: x=\pi \cdot (-1)= -\pi; \ x=\pi \cdot 0 = 0](/tpl/images/1354/0763/1de93.png)
Анализируем 2 оставшиеся серии:
Здесь уже необходимо рассматривать отдельно.
Первое с "+" возьмем:![\displaystyle -1 \leq \frac{1}{8}+n \leq \frac{1}{4} \Rightarrow -1\frac{1}{8}\leq n \leq \frac{1}{4}-\frac{1}{8} , \ n \in \mathbb{Z} \Rightarrow n=-1; \ n=0 \\ x=\pi+\frac{\pi}{4}-2\pi=-\frac{3\pi}{4}; \ x=\pi + \frac{\pi}{4} +0=\frac{5\pi}{4}](/tpl/images/1354/0763/6c5ae.png)
В последней серии решений та же логика, просто исходно дробь будет со знаком "-", значит, в обе части двойного неравенства пойдет с "+"
Теперь можно записывать ответ:
Переходим к 13. Это неравенство.
Сразу видно, что
можно заменить на переменную, и тогда неравенство станет куда проще.
Если знаменатель больше нуля, то и неравенство будет больше 0. Особый случай - когда числитель равен 1, но
, поэтому решением этого неравенство является ![t0](/tpl/images/1354/0763/9f315.png)
Возвращаемся к замене и решаем относительно
:
Тогда получается, что и для любого
неравенство выполняется.
ответ:![x\in \mathbb{R}](/tpl/images/1354/0763/39bd5.png)
Решение задачи с параметром прикрепляю отдельным документом, так как мне не хватило ограничения на 5000 символов, к сожалению (
Объяснение:
Для того, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, мы сперва должны построить их на графике
Теперь мы видим, что функцией y = 0, наша искомая фигура разбивается на две симметричные. Их площадь будет равна, то есть для того, чтобы вычислить площадь фигуры, нам достаточно найти площадь одной её половины и умножить на "2".
Получается, площадь равна удвоенному интегралу функции х^3 от 2 до 0.
2 * инт (х^3)dx = 2 * (x^4)/4.
Подставляем наши границы "2" и "0": 2 * (x^4)/4 = 2 * ((2^4)/4 - (0^4)/4) = 2 * 4 = 8.
ответ: S фигуры = 8.