Ребята Задание по алгебре:

f ‘ (x) >0 ,f’ (x)<0 (промежутки)

у = x² - 2x - 8

y = (x² - 2x + 1) - 1 - 8

y = (x - 1)² - 9

График функции - квадратичная парабола, ветви направлены вверх.

Координаты вершины из уравнения y = (x - 1)² - 9

x₀ = 1;   y₀ = -9.

Нули функции

x² - 2x - 8 = 0    ⇔    (x - 4)(x + 2) = 0

1) x - 4 = 0;   x₁ = 4;

2) x + 2 = 0;   x₂ = -2

Точка пересечения с осью OY для построения графика

x = 0;   y = x² - 2x - 8 = 0² - 2*0 - 8 = -8

График в приложении.

а) x = 3;    y = 3² - 2*3 - 8 = 9 - 6 - 8 = -5

    A (3; -5)

б) y = 3;

     x² - 2x - 8 = 3    ⇔    x² - 2x - 11 = 0

     D/4 = (b/2)² - ac = 1 + 11 = 12

         ≈ 4,5

          ≈ -2,5

     B (-2,5; 3); C(4,5; 3)

в) Нули функции    x₁ = 4;    x₂ = -2

    Точки   D (-2; 0);   F(4; 0)

    Промежутки знакопостоянства функции

    y > 0  при   x ∈ (-∞; -2) ∪ (4; +∞)

    y < 0  при   x ∈ (-2; 4)

г) Функция возрастает при x ∈ [1; +∞)

============================

Графики у = 1/3 x²;   у = 6x - 15

Для поиска точки пересечения нужно уравнять формулы по y

1/3 x² = 6x - 15     | * 3

x² = 18x - 45    ⇔     x² - 18x + 45 = 0

Дискриминант положительный, значит, графики имеют 2 точки пересечения.

1) x₁ = 15;     y₁ = 6*15 - 15 = 5*15 = 75

2) x₂ = 3;      y₂ = 6*3 - 15 = 18 - 15 = 3

ответ: точки пересечения графиков (15; 75); (3; 3)

1) Найди дискриминант квадратного уравнения 8x²+4x+12=0.

D = b² - 4ac = 16 - 4·8·12 = 16 - 384 = -368.

2) Найди корни квадратного уравнения x²+7x+12=0.

По т., обратной к т. Виетта, имеем х₁ = -4; x₂ = -3.

3) Реши квадратное уравнение 2(5x−15)²−7(5x−15)+6=0.

Рациональным будет метод введения новой переменной.

Пусть 5x−15 = t, тогда имеем:

2t²−7t+6=0; D = b² - 4ac = 49 - 4·2·6 = 49 - 48 = 1; √D = 1

t₁ = (7 + 1)/4 = 2; t₂ = (7 - 1)/4 = 1,5.

Возвращаемся к замене:

5x−15 =2; 5x = 2 + 15; 5x = 17; x = 17/5; x₁ = 3,4.

5x−15 = 1,5; 5x = 1,5 + 15; 5x = 16,5; x = 16,5/5; x₂ = 3,3.

ответ: 3,4; 3,3.

4)Найди корни уравнения −8,9(x−2,1)(x−31)=0.

x−2,1 = 0 или x−31 = 0.

х₁ = 2,1            х₂ = 31.

ответ: 2,1; 31.

5) Сократи дробь (x−4)²/(x²+2x−24) = (x−4)²/((x + 6)(x − 4)) = (х - 4)/(х + 6).

Полученная дробь: (х - 4)/(х + 6).

6)Сократи дробь (5x²−32x+12)/(x³−216).

5x²−32x+12 = 0; D = b² - 4ac = 1024 - 480 = 784; √D = 28.

x₁ = (32 + 28)/10 = 6; x₂ = (32 - 28)/10 = 0,4

Имеем: (5x²−32x+12)/(x³−216) = ((x - 6)(5x - 2))/((x - 6)(x² + 6x + 36)) =

= (5x - 2)/(x² + 6x + 36).

7) Разложи на множители квадратный трехчлен  x² + 8x + 15.

x² + 8x + 15 = 0; x₁ = -3; x₂ = -5.

имеем, x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5).