решить 1.Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?
2. Из натуральных чисел от 1 до 30 наугад выбирается одно. Какова вероятность того, что это число является делителем числа 30?
3. Брошено 2 игральных кубика. Найти вероятность того, что хотя бы на одном кубике выпадет 6 очков.
4. В урне находится 3 белых и 2 чёрных шара. Из урны наугад достают 3 шара. Какова вероятность того, что среди них 2 белых и 1 чёрный шар?
5. В первой урне находится 3 белых, 4 чёрных и 5 красных шаров, а во второй урне находится 4 белых, 2 чёрных и 3 красных шара. Из обеих урн наугад извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что они оба одного цвета?
6. На сборку попадают детали с 3 станков. Известно, что первый станок даёт 0.3% брака, второй – 0.2% и третий – 0.4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого станка поступило 1000 деталей, со второго – 2000 деталей и с третьего – 2500 деталей. ответ можно записать только в десятичных дробях.
7. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Какова вероятность того, что он ответит на 3 предложенных ему экзаменатором вопроса?
8. Событие В появится в случае, если событие А наступит не менее 3 раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 4 независимых испытания, в каждом из которых вероятность наступления события А равна 0.8. ответ можно записать только в десятичных дробях.
9. Брошено 3 игральных кубика. Найти вероятность того, что выпадет 2, 4 и 6 очков безразлично в каком порядке.
10. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Существующая схема контроля признаёт стандартной стандартную продукцию с вероятностью 0.98 и нестандартную – с вероятностью 0.05. Найти вероятность того, что изделие контроль, удовлетворяет стандарту. ответ можно записать только в десятичных дробях.
а). В этом числе ноль встречается 9 раз, а числа 2, 3, 9 - по 20 раз.
б). Да, 123...9899 делится на 9.
Сначала посчитаем, сколько всего в числе 1234..9899 было выписано цифр 0, 1, 2, 3, 9. Это тоже самое, что и посчитать, сколько раз встречаются эти же цифры в числах от 1 до 99.
Цифра 0:
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 - всего 9 раз.
Цифра 1:
1, 10 - 19 (11 раз), 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81 ,91 - всего 20 раз.
Понятно, что 2, 3, 9 встречаются столько же раз, сколько и 1 (все они могут стоять 10 раз в разряде единиц, и 10 раз - в разряде десятков).
Теперь нужно узнать, делится ли число 1234..9899 на 9.
Признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр тоже делится на 9.Так что мы должны узнать, делится ли 1 + 2 + 3 + ... + 99 на 9.
Для этого найдем искомую сумму по формуле арифметической прогрессии:
Так как получилось разделить нацело, то 1234...9899 делится на 9.
Если на одном шаге мы, допустим сделали так: +1, -1,-1 (т.е. добавили один камень в первую, и убрали по одному из 2-ой и 3-ей), то на следующем шаге мы можем сделать так: +1, -1, -1, либо -1,+1,-1 и последний вариант -1,-1,+1. В 1-ом случае в итоге у нас после этих двух шагов число камней в кучах изменится на +2,-2,-2 (т.е. в одной куче увеличится на 2, а в каждой из двух других куч, уменьшится на 2) во втором случае: 0,0,-2 и в третьем 0,-2,0 (т.е. в этих случаях уменьшится на 2 камня только в одной куче из трех).
Таким образом, можно сделать вывод, что сколько бы камней не было в каждой куче, за каждые два шага, число камней в каждой куче станет больше или меньше на 2 или не изменится. Заметим, что всего камней в трех кучах четное число 2013+2014+2015=6042. За каждый шаг общее количество камней уменьшается на 1, значит к последнему шагу, когда останется только два камня, будет уже сделано 6042-2=6040 шагов. Т.е. будет сделано четное число шагов. Так как в первой куче и третьей - нечетное число, то за четное число шагов в первой и третьей куче может остаться только нечетное число камней (т.к. число камней за два шага может уменьшаться только на 2). Значит, последние два камня будут в первой и третьей кучах (там, где изначально было нечетное количество элементов). Таким образом, последний шаг будет заключаться в том, чтобы убрать из этих куч последние камни, и добавить 1 камень в среднюю кучу, т.е. ту, где было 2014 камней, т.е. ту, где у нас единицы. Т.е. последняя цифра будет 1.