пример.рассмотрим следующую линейную функцию: y = 5x – 3.
1) d(y) = r;
2) e(y) = r;
3) функция общего вида;
4) непериодическая;
5) точки пересечения с осями координат:
ox: 5x – 3 = 0, x = 3/5, следовательно (3/5; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
oy: y = -3, следовательно (0; -3) – точка пересечения с осью ординат;
6) y = 5x – 3 – положительна при x из (3/5; +∞),
y = 5x – 3 – отрицательна при x из (-∞; 3/5);
7) y = 5x – 3 возрастает на всей области определения; линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.
в частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.
смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси oy, считая от начала координат.
смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси ox, считается против часовой стрелки.
свойства линейной функции:
1) область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
2) если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
3) четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.
a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
4) свойством периодичности линейная функция не обладает;
5) точки пересечения с осями координат:
ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
замечание.если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.
6) промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),
y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).
b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),
y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.
k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) графиком линейной функции является прямая. для построения прямой достаточно знать две точки. положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
1. Чтобы начертить графики, необходимо составить таблицу значений для каждого выражения для соответствующих значений x:
x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1].
x
−6
−5
−4
−3
−2
−1
y
x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2].
x
−1
0
1
2
y
2. Заполняем обе таблицы значениями y, которые можно вычислить, подставив в выражение вместо x соответствующие значения аргумента:
x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1];
a) y=(−6)2+6⋅(−6)+8=36−36+8=8;
b) y=(−5)2+6⋅(−5)+8=25−30+8=3;
c) y=(−4)2+6⋅(−4)+8=16−24+8=0;
d) y=(−3)2+6⋅(−3)+8=9−18+8=−1;
e) y=(−2)2+6⋅(−2)+8=4−12+8=0;
f) y=(−1)2+6⋅(−1)+8=1−6+8=3.
x
−6
−5
−4
−3
−2
−1
y
8
3
0
−1
0
3
x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2];
y=−1+2−−−−−−√+2=1–√+2=1+2=3;
y=0+2−−−−√+2=2–√+2≈1,41+2≈3,41;
y=1+2−−−−√+2=3–√+2≈1,73+2≈3,73;
y=2+2−−−−√+2=4–√+2=2+2=4.
x
−1
0
1
2
y
3
3,41
3,73
4
3. Чертим график функции.
a4.png
При значении x, равном −1, по интервалу первого выражения точка должна быть закрашенной, но по интервалу второго выражения точка должна быть незакрашенной. В этой ситуации точка на чертеже должна быть закрашенной.
4. Интервалы возрастания и убывания функции определяем по оси x. Если при возрастании значений x значения функции возрастают (на рис. график идёт вверх), то на этом интервале функция возрастает. Если при возрастании значений x значения функции убывают (на рис. график идёт вниз), то на этом интервале функция убывает.
a4.png
Интервал возрастания функции: x∈[−3;2].
Интервал убывания функции: x∈[−6;−3].
5. Точку, в которой функция непрерывна и меняется с возрастающей на убывающую, называют максимумом функции. Точку, в которой функция непрерывна и меняется с убывающей на возрастающую, называют минимумом функции. Минимумы и максимумы функции называются экстремумами. Поэтому экстремумом функции является f(−3) = −1 (минимум функции).
6. Наибольшее и наименьшее значения функции находят по оси y, и они часто совпадают с экстремумами функции. Разница в том, что наибольшее и наименьшее значения есть в том случае, когда функция прерывается. В данном примере наибольшим значением функции является f(−6) = 8, наименьшим значением функции является f(−3) = −1.
7. Положительные и отрицательные значения функции определяют по оси x. Та часть функции, график которой находится ниже оси x, является отрицательной, а та, которая находится выше оси x, является положительной. Следовательно, функция положительна, если x∈[−6;−4)∪(−2;2], и отрицательна, если x∈(−4;−2).
8. Так как функция не симметрична ни относительно оси y , ни относительно начала координат, то она является ни чётной, ни нечётной.
9. Нулями функции являются те значения, при которых функция касается или пересекает ось x:
x1=−4,т. к.f(−4)=0;
x2=−2,т. к.f(−2)=0.
10. Точки пересечения с осями x и y можно определить по графику:
пример.рассмотрим следующую линейную функцию: y = 5x – 3.
1) d(y) = r;
2) e(y) = r;
3) функция общего вида;
4) непериодическая;
5) точки пересечения с осями координат:
ox: 5x – 3 = 0, x = 3/5, следовательно (3/5; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
oy: y = -3, следовательно (0; -3) – точка пересечения с осью ординат;
6) y = 5x – 3 – положительна при x из (3/5; +∞),
y = 5x – 3 – отрицательна при x из (-∞; 3/5);
7) y = 5x – 3 возрастает на всей области определения; линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.
в частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.
смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси oy, считая от начала координат.
смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси ox, считается против часовой стрелки.
свойства линейной функции:
1) область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
2) если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
3) четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.
a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
4) свойством периодичности линейная функция не обладает;
5) точки пересечения с осями координат:
ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
замечание.если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.
6) промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),
y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).
b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),
y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.
k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) графиком линейной функции является прямая. для построения прямой достаточно знать две точки. положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
1. Чтобы начертить графики, необходимо составить таблицу значений для каждого выражения для соответствующих значений x:
x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1].
x
−6
−5
−4
−3
−2
−1
y
x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2].
x
−1
0
1
2
y
2. Заполняем обе таблицы значениями y, которые можно вычислить, подставив в выражение вместо x соответствующие значения аргумента:
x2+6x+8,еслиx∈[−6;−1];
a) y=(−6)2+6⋅(−6)+8=36−36+8=8;
b) y=(−5)2+6⋅(−5)+8=25−30+8=3;
c) y=(−4)2+6⋅(−4)+8=16−24+8=0;
d) y=(−3)2+6⋅(−3)+8=9−18+8=−1;
e) y=(−2)2+6⋅(−2)+8=4−12+8=0;
f) y=(−1)2+6⋅(−1)+8=1−6+8=3.
x
−6
−5
−4
−3
−2
−1
y
8
3
0
−1
0
3
x+2−−−−√+2,еслиx∈(−1;2];
y=−1+2−−−−−−√+2=1–√+2=1+2=3;
y=0+2−−−−√+2=2–√+2≈1,41+2≈3,41;
y=1+2−−−−√+2=3–√+2≈1,73+2≈3,73;
y=2+2−−−−√+2=4–√+2=2+2=4.
x
−1
0
1
2
y
3
3,41
3,73
4
3. Чертим график функции.
a4.png
При значении x, равном −1, по интервалу первого выражения точка должна быть закрашенной, но по интервалу второго выражения точка должна быть незакрашенной. В этой ситуации точка на чертеже должна быть закрашенной.
4. Интервалы возрастания и убывания функции определяем по оси x. Если при возрастании значений x значения функции возрастают (на рис. график идёт вверх), то на этом интервале функция возрастает. Если при возрастании значений x значения функции убывают (на рис. график идёт вниз), то на этом интервале функция убывает.
a4.png
Интервал возрастания функции: x∈[−3;2].
Интервал убывания функции: x∈[−6;−3].
5. Точку, в которой функция непрерывна и меняется с возрастающей на убывающую, называют максимумом функции. Точку, в которой функция непрерывна и меняется с убывающей на возрастающую, называют минимумом функции. Минимумы и максимумы функции называются экстремумами. Поэтому экстремумом функции является f(−3) = −1 (минимум функции).
6. Наибольшее и наименьшее значения функции находят по оси y, и они часто совпадают с экстремумами функции. Разница в том, что наибольшее и наименьшее значения есть в том случае, когда функция прерывается. В данном примере наибольшим значением функции является f(−6) = 8, наименьшим значением функции является f(−3) = −1.
7. Положительные и отрицательные значения функции определяют по оси x. Та часть функции, график которой находится ниже оси x, является отрицательной, а та, которая находится выше оси x, является положительной. Следовательно, функция положительна, если x∈[−6;−4)∪(−2;2], и отрицательна, если x∈(−4;−2).
8. Так как функция не симметрична ни относительно оси y , ни относительно начала координат, то она является ни чётной, ни нечётной.
9. Нулями функции являются те значения, при которых функция касается или пересекает ось x:
x1=−4,т. к.f(−4)=0;
x2=−2,т. к.f(−2)=0.
10. Точки пересечения с осями x и y можно определить по графику:
a) точки пересечения с осью x: (−4;0) и (−2;0);
б) точка пересечения с осью y: (0;3,41).
Объяснение: