1)x^3+y^3=17-x^3*y^3 x+y=5-xy (x+y)(x^2-xy+y^2)=17-x^3*y^3 (x+y)((x+y)^2-3xy)=17-(xy)^3 xy=t x+y=5-t (5-t)((5-t)^2-3t)=17-t^3 (5-t)(t^2-13t+25)=17-t^3 5t^2-65t+125-t^3+13t^2-25t=17-t^3 (-t^3 cокращается) 18t^2-90t+108=0 (делим на 18) t^2-5t+6=0 По виету корни: t1=2 t2=3 1)t=2 xy=2 x+y=3 Это обратная теорема виета: Подбором очевидно: x=1 x=2 y=2 y=1 2)xy=3 x+y=2 Тут я чую решений нет. Но проверю: x(2-x)=3 x^2-2x+3=0 (x-1)^2=-2 Как я и думал :) ответ:(1;2),(2;1)
2)x^2y+xy^2=30 x^3+y^3=35 Ого что то интересное умножим на 3 первое уравнение 3x^2y+3xy^2=90 x^3+y^3=35 Сложим их :) x^3+3x^2y+3y^2x+y^3=125 Слева полный куб (x+y)^3=125=5^3 x+y=5 в 1 уравнении (x+y)xy=30 x+y=5 Деля 1 на 2 xy=6 x+y=5 Тут очевидно подбором x=2 y=3 x=3 y=2 ответ:(2;3),(3;2)
Обозначим (х+у)= u, (xy)=v x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)=(x+y)·((x+y)²-3xy)
Выразим из второго уравнения v=5-u и подставим в первое уравнение: (5-u)³+u³-3u·(5-u)=17, 125-75u+15u²-u³+u³-15u+3u²=17 18u²-90u+108=0 u²-5u+6=0 D=5²-4·6=25-24=1 u₁=(5-1)/2=2 или u₂=(5+1)/2=3 тогда v₁=5-u₁=5-2=3 или v₂=5-u₂=5-3=2
или
В первой системе выразим y=2-x из первого уравнения и подставим во второе: x·(2-x)=3 или х²- 2х+3=0 уравнение не имеет корней, так как D=4-12<0
Во второй системе выразим y=3-x и подставим во второе: х(3-х)=2, х²-3х+2=0 D=(-3)²-4·2=9-8=1 x₁=(3-1)/2=1 или х₂ = (3+1)/2=2 тогда у₁=3-х₁=3-1=2 или у₂=3-х₂=3-2=1 ответ. (1;2) (2;1)
x+y=5-xy
(x+y)(x^2-xy+y^2)=17-x^3*y^3
(x+y)((x+y)^2-3xy)=17-(xy)^3
xy=t
x+y=5-t
(5-t)((5-t)^2-3t)=17-t^3
(5-t)(t^2-13t+25)=17-t^3
5t^2-65t+125-t^3+13t^2-25t=17-t^3 (-t^3 cокращается)
18t^2-90t+108=0 (делим на 18)
t^2-5t+6=0
По виету корни:
t1=2
t2=3
1)t=2
xy=2
x+y=3
Это обратная теорема виета:
Подбором очевидно:
x=1 x=2
y=2 y=1
2)xy=3
x+y=2
Тут я чую решений нет. Но проверю:
x(2-x)=3
x^2-2x+3=0
(x-1)^2=-2 Как я и думал :)
ответ:(1;2),(2;1)
2)x^2y+xy^2=30
x^3+y^3=35
Ого что то интересное умножим на 3 первое уравнение
3x^2y+3xy^2=90
x^3+y^3=35
Сложим их :)
x^3+3x^2y+3y^2x+y^3=125
Слева полный куб
(x+y)^3=125=5^3
x+y=5
в 1 уравнении
(x+y)xy=30
x+y=5
Деля 1 на 2
xy=6
x+y=5
Тут очевидно подбором
x=2 y=3
x=3 y=2
ответ:(2;3),(3;2)
Обозначим (х+у)= u, (xy)=v
x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)=(x+y)·((x+y)²-3xy)
Выразим из второго уравнения
v=5-u
и подставим в первое уравнение:
(5-u)³+u³-3u·(5-u)=17,
125-75u+15u²-u³+u³-15u+3u²=17
18u²-90u+108=0
u²-5u+6=0
D=5²-4·6=25-24=1
u₁=(5-1)/2=2 или u₂=(5+1)/2=3
тогда
v₁=5-u₁=5-2=3 или v₂=5-u₂=5-3=2
или
В первой системе выразим y=2-x из первого уравнения и подставим во второе:
x·(2-x)=3 или х²- 2х+3=0 уравнение не имеет корней, так как D=4-12<0
Во второй системе выразим y=3-x и подставим во второе:
х(3-х)=2,
х²-3х+2=0
D=(-3)²-4·2=9-8=1
x₁=(3-1)/2=1 или х₂ = (3+1)/2=2
тогда
у₁=3-х₁=3-1=2 или у₂=3-х₂=3-2=1
ответ. (1;2) (2;1)
№ 2
x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)=(x+y)·((x+y)²-3xy)
х²у+ху²=ху(х+у)
Обозначим (х+у)= u, (xy)=v
Заменим uv на 30 во втором уравнении
u³-3uv=35
u³-3·30=35
u³=35+90
u³=125
u=5
тогда v=30/u=30/5=6
Решаем систему
Решаем второе уравнение х²-5х+6=0
(см решение в № 1)
х₁=2 или х₂=3
у₁=5-2=3 или у₂=5-3=2
Отевт (2;3) (3;2)