А) (18²ⁿ+5)+1 кратно 19при n€N 1) при n=1 18^7+1=612 220 033=19×32 222 107 делится на 19 2) пусть при n=k
3)докажем при n=k+1 уменьшаемое делится на 19 по предположению матиндукции вычитаемое тоже делится на 19, поэтому при n=k+1 доказана делимость на 19, а значит и наше выражение делится на 19 при любых n€N
б)15ⁿ+27 кратно 14 при n€N 1) n=1 15¹+27=42 =14*3 делится на 14 2) пусть при n=k
3) докажем кратность при n=k+1
уменьшаемое делится на 14 по предположению матиндукции вычитаемое тоже делится на 14, поэтому при n=k+1 доказана делимость на 14, а значит и выражение наше делится на 14 при любых n€N
По теореме Виета
x1*x2 = c/a = -4/2 = -2
x1 + x2 = -b/a = 5/2 = 2,5
Теперь решаем
1) 1/x1^2 + 1/x2^2 = (x1^2 + x2^2)/(x1^2*x2^2)
Чтобы не путаться в скобках, я напишу числитель и знаменатель отдельно.
Числитель:
x1^2 + x2^2 = x1^2 +2x1*x2 + x2^2 - 2x1*x2 = (x1+x2)^2 - 2x1*x2 =
= 2,5^2 - 2(-2) = 6,25 + 4 = 10,25
Знаменатель:
x1^2*x2^2 = (x1*x2)^2 = (-2)^2 = 4
Дробь:
10,25/4 = (41/4) / 4 = 41/16
2) x1*x2^4 + x2*x1^4 = x1*x2*(x2^3+x1^3) = x1*x2*(x1+x2)(x1^2-x1*x2+x2^2) =
= (-2)*2,5*(x1^2+2x1*x2+x2^2-3x1*x2) = -5*((x1+x2)^2-3x1*x2) =
= -5*(2,5^2-3(-2)) = -5*(6,25+6) = -5*12,25 = -61,25 = -245/4
1) при n=1
18^7+1=612 220 033=19×32 222 107 делится на 19
2) пусть при n=k
3)докажем при n=k+1
уменьшаемое делится на 19 по предположению матиндукции
вычитаемое тоже делится на 19,
поэтому при n=k+1 доказана делимость на 19,
а значит и наше выражение делится на 19 при любых n€N
б)15ⁿ+27 кратно 14 при n€N
1) n=1
15¹+27=42 =14*3
делится на 14
2) пусть при n=k
3) докажем кратность при n=k+1
уменьшаемое делится на 14 по предположению матиндукции
вычитаемое тоже делится на 14,
поэтому при n=k+1 доказана делимость на 14,
а значит и выражение наше делится на 14 при любых n€N