Т.к. sin(x) - непрерывная функция, она интегрируема, и можно выбирать любое разбиение с любыми точками на нем. Разобьем [a,b] на n равных частей и возьмем значения функции в левых точках получившихся отрезков: ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1
Здесь были применены формулы cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y)) Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n
y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.
Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1
Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.
При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)
Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1
Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)
Задать вопрос
Войти
АнонимГеометрия13 мая 17:10
треугольник MNP равнобедренный. один из углов равен 112 градусам. найти углы
ответ или решение1
Боброва Кира
Рассмотрим два возможный случая.
1 случай.
Данный угол величиной 112° является углом при вершине данного равнобедренного треугольника.
Тогда два других угла при основании будут равны между собой.
Обозначим через x величину этих углов.
Так как при сложении величин всех трех углов всякого треугольника в результате получается 180°, можем составить следующее уравнение:
х + х + 112 = 180,
решая которое, получаем:
2х + 112 = 180;
(2х + 112) / 2 = 180 / 2;
х + 56 = 90;
х = 90 - 56 = 34°.
2 случай.
Данный угол величиной 112° является углом при основании данного равнобедренного треугольника.
Тогда другой угол при основании также должен составлять 112°.
Так как суммы этих двух углов, равная 112 + 112 = 224° больше 180°, то такого треугольника не существует.
ответ: 112°, 54°, 54°.
∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1
Далее преобразуем слагаемые в разности косинусов:
sin(a + k*(b-a)/n) = sin(a + k*(b-a)/n) * sin( (b-a)/2n ) / sin( (b-a)/2n ) = 1/(2sin((b-a)/2n)) * [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)]
Здесь были применены формулы
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y))
Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n
y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.
Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду
(b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1
Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.
∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)] = cos(a - 1/2 (b-a)/n) - cos(a + (n - 1/2)*(b-a)/n)
При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)
Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1
Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)