с решением с полным развернутым ответом. Даны векторы {-4, 2, 5}, {6, 0, -1}, {3, 2, 1}. Найти:
1)Длины этих векторов;
2)Скалярное произведение векторов и и косинус угла между ними;
3)Векторное произведение × и площадь треугольника, построенного на этих векторах;
4)Смешанное произведение и объем тетраэдра, построенного на этих векторах.

3.

sin²φ+2cos²φ / sin²φ-cos²φ, если tgφ = 2

Разделим числитель и знаменатель на cos²φ, получим:

sin²φ+2cos²φ / sin²φ-cos²φ = sin²φ+2cos²φ/cos²φ / sin²φ -cos²φ/cos²φ = sin²φ/cos²φ + 2cos²φ/cos²φ / sin²φ/cos²φ - cos²φ/cos²φ = tg²φ + 2/tg²φ - 1 = 2²+2/2²-1 = 4+2/4-1 = 6/3 = 2

ответ: 2

4.

sinx × cosx + cos²x + 3sin²x = 3

sinx × cosx + cos²x + 3(1-cos²x) = 3

sinx × cosx + cos²x + 3 - 3cos²x = 3

sinx × cosx + cos²x + 3 - 3cos²x - 3 = 0

sinx × cosx + cos²x - 3cos²x = 0

sinx × cosx - 2cos²x = 0

cosx × (sinx - 2cosx) = 0

cosx = 0         или       sinx - 2cosx = 0

x₁ = π/2 + πn, n∈Z       sinx = 2cosx | : cosx

                                   sinx/cosx = 2cosx/cosx

                                   tgx = 2

                                   x₂ = arctg 2 + πn, n∈Z

ответ: x₁ = π/2 + πn, n∈Z; x₂ = arctg 2 + πn, n∈Z

Інструкція         Нaйті область визначення - це перше, що слід робити при роботі з функціями. Це безліч чисел, якому належить аргумент функції, з накладенням деяких обмежень, які випливають з використання в її вираженні певних математичних конструкцій, наприклад, квадратного кореня, дробу, логарифма і т.д.         Як правило, всі ці структури можна віднести до шести основних видів і їх всіляких комбінацій. Потрібно вирішити одне або кілька нерівностей, щоб визначити точки, в яких функція не може існувати.         Степенева функція з показником ступеня у вигляді дробу з парних знаменником

Це функція виду u ^ (m / n). Очевидно, що подкоренное вираження не може бути негативним, отже, потрібно вирішити нерівність u ≥ 0.

Приклад 1: у = √ (2 • х - 10).

Рішення: складіть нерівність 2 • х - 10 ≥ 0 → х ≥ 5. Область визначення - інтервал [5; + ∞). При х

        Логарифмічна функція виду log_a (u)

В даному випадку нерівність буде суворим u> 0, оскільки вираз під знаком логарифма не може бути менше нуля.

Приклад 2: у = log_3 (х - 9).

Рішення: х - 9> 0 → х> 9 → (9; + ∞).

        Дріб виду u (х) / v (х)

Очевидно, що знаменник дробу не може звертатися в нуль, значить, критичні точки можна знайти з рівності v (х) = 0.

Приклад 3: у = 3 • х ² - 3 / (х ³ + 8). 
Рішення: х ³ + 8 = 0 → х ³ = -8 → х = -2 → (- ∞; -2) U (-2; + ∞).

        Тригонометричні функції tg u і ctg u

Знайдіть обмеження з нерівності виду х ≠ π / 2 + π • k.

Приклад 4: у = tg (х / 2). 
Рішення: х / 2 ≠ π / 2 + π • k → х ≠ π • (1 + 2 • k).

        Тригонометричні функції arcsin u і arcсos u

Вирішити двостороннє нерівність -1 ≤ u ≤ 1.

Приклад 5: у = arcsin 4 • х. 
Рішення: -1 ≤ 4 • х ≤ 1 → -1 / 4 ≤ х ≤ 1/4.

        Показово-статечні функції виду u (х) ^ v (х)

Область визначення має обмеження у вигляді u> 0.

Приклад 6: у = (х ³ + 125) ^ sinх. 
Рішення: х ³ + 125> 0 → х> -5 → (-5; + ∞).