Объяснение:
Сначала выведем формулу У(х)
(4x - 4)*y = - 4*x
y = - 4*x/(4*(x-1) = - x/(x-1) - функция для анализа.
1. Область определения функции - ООФ.
Не допускается деление на 0 в знаменателе.
x -1 ≠ 0. x≠ 1
D(y) = R\{1} = (-∞;1)∪(1;+∞) - ООФ.
2. Вертикальная асимптота - x = 1 - разрыв II-го рода.
3. Пересечение с осями координат.
С осью ОХ: числитель равен 0. X0 = 0 - нуль функции.
С осью ОУ: y(0) = 0.
4. Интервалы знакопостоянства.
Положительна: y(x)>0: X∈(0;1).
Отрицательна: y(x)≥0: X∈(-∞;0]∪(1;+∞).
5. Проверка на чётность.
y(-x) = х/(-x-1) - функция общего вида.
6. Первая производная - поиск экстремумов.
y'(x) = -x/(x-1)² -1/(x-1) = 1/(x-1)² = 0
Корней нет. Разрыв при Х = 1.
7. Локальные экстремумы в точке разрыва..
минимум:Ymin = lim{x-> 1-} . Ymin= -∞.
максимум:Ymax = \lim{x-> 1+} y(x) = +∞
8. Интервалы монотонности.
Производная положительная - функция возрастает во всем интервале существования..
Возрастает: X∈(-∞;1)∪[1;+∞).
9. Вторая производная - поиск точек перегиба.
y"(x) = - 2/(x-1)³ = 0
Корней нет.
10. Поведение функции.
Выпуклая - "горка" - X∈(1;+∞).
Вогнутая - "ложка" - X∈(-∞;1)
11. Наклонная асимптота: y = k*x+b.
k = lim(+∞) Y(x)/x = lim (-1/(x-1) = 0 - наклона нет.
b = lim(+∞)Y(x) - 0*x = -x/(x-1) = -1 - сдвиг по оси ОУ.
Горизонтальная асимптота: y = -1.
12. Рисунок с графиками исследования - в приложении.
Даны координаты вершин пирамиды:
A(4, 4, -10) ; B(4, 10, 2) ; C(2, 8, 4) ; D(9, 6, 4).
4) Находим векторы АВ и АС.
АВ = (0;6; 12), АС = (-2; 4; 14).
Их векторное произведение равно.
i j k | i j
0 6 12 | 0 6
-2 4 14 | -2 4 = 84i - 21j +0k - 0j - 4+ 12k = 36i - 24j + 12k.
Нормальный вектор к плоскости АВС равен (36; -24; 12).
Площадь АВС равна половине модуля векторного произведения:
S = (1/2)*√(1296 + 576 + 144) = √2016/2 = 6√14 ≈ 22,45 кв.ед.
Направляющий вектор высоты DH равен нормальному вектору плоскости АВС, то есть (36; -24; 12), или сокращённый на 12:
DH: (3; -2; 1).
Отсюда получаем уравнение DH с учётом координат точки D:(9; 6; 4).
DH: (x - 9)/3 = (y - 6)/(-2) = (z - 4)/1.
Уравнение плоскости АВС найдём по точке А и нормальному вектору DH: A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0
Если теперь в уравнении раскрыть скобки и привести подобные члены, получим общее уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0 ,
где D = −Ax0 − By0 − Cz0, A = 3, B = -2, C = 1, точка A(4, 4, -10).
Найдём значение D:
D = -3*4 - (-2)*4 - 1*(-10) = -12 + 8 + 10 = 6.
Уравнение АВС: 3x - 2y + z + 6 = 0.
Определяем вектор AD:(9 - 4 = 5; 6 - 4 = 2; 4 - (-10) = 14) = (5; 2; 14).
Теперь находим угол между AD и АВС.
угол между этой прямой и плоскостью
sin φ = | A · l + B · m + C · n |
√(A² + B² + C²) · √(l² + m² + n²)
A = 3, B = -2, C = 1 (5; 2; 14)
sin φ = (3*5 + (-2)*2 + 1*14)/(√(3² +(-2)² + 1²) · √(5² + 2² + 14²) =
= (15 - 4 + 14)/(√(9 +4 + 1) · √(25 + 4 + 196) = 0,4454.
Угол fi = 0,4617 радиан или 26,4512 градуса.
5) Уравнение DH определено выше:
6) Уравнение DH представим в параметрическом виде.
(x - 9)/3 = (y - 6)/(-2) = (z - 4)/1 = t
x = 3t + 9,
y = -2t + 6,
z = t + 4.
И подставим в уравнение АВС.
9t + 27 + 4t - 12 + t + 4 + 6 = 0.
14t + 25 = 0/
t = -25/14.
Получаем координаты точки пересечения DH с плоскостью АВС.
x = 3*(-25/14) + 9 = 51/14 ≈ 3,643 .
y = -2*(-25/14)+ 6 = 134/14 ≈ 9,571.
z = (-25/14) + 4 = 31/14 ≈ 2,214.
Длину DH можно получить двумя
- по разности координат точек D и H,
- по формуле H = 3V/S(ABC).
Объём равен (1/6) смешанного произведения (АВ х АС) * AD.
АВ x AC= (36; -24; 12), AD = (5; 2; 14).
V = (1/6)*(180 - 48 + 168) = (1/6)*300 = 50 куб.ед.
Тогда DH = (3*50)/6√14 = 25√14/14 ≈ 3,528.
Объяснение:
Сначала выведем формулу У(х)
(4x - 4)*y = - 4*x
y = - 4*x/(4*(x-1) = - x/(x-1) - функция для анализа.
1. Область определения функции - ООФ.
Не допускается деление на 0 в знаменателе.
x -1 ≠ 0. x≠ 1
D(y) = R\{1} = (-∞;1)∪(1;+∞) - ООФ.
2. Вертикальная асимптота - x = 1 - разрыв II-го рода.
3. Пересечение с осями координат.
С осью ОХ: числитель равен 0. X0 = 0 - нуль функции.
С осью ОУ: y(0) = 0.
4. Интервалы знакопостоянства.
Положительна: y(x)>0: X∈(0;1).
Отрицательна: y(x)≥0: X∈(-∞;0]∪(1;+∞).
5. Проверка на чётность.
y(-x) = х/(-x-1) - функция общего вида.
6. Первая производная - поиск экстремумов.
y'(x) = -x/(x-1)² -1/(x-1) = 1/(x-1)² = 0
Корней нет. Разрыв при Х = 1.
7. Локальные экстремумы в точке разрыва..
минимум:Ymin = lim{x-> 1-} . Ymin= -∞.
максимум:Ymax = \lim{x-> 1+} y(x) = +∞
8. Интервалы монотонности.
Производная положительная - функция возрастает во всем интервале существования..
Возрастает: X∈(-∞;1)∪[1;+∞).
9. Вторая производная - поиск точек перегиба.
y"(x) = - 2/(x-1)³ = 0
Корней нет.
10. Поведение функции.
Выпуклая - "горка" - X∈(1;+∞).
Вогнутая - "ложка" - X∈(-∞;1)
11. Наклонная асимптота: y = k*x+b.
k = lim(+∞) Y(x)/x = lim (-1/(x-1) = 0 - наклона нет.
b = lim(+∞)Y(x) - 0*x = -x/(x-1) = -1 - сдвиг по оси ОУ.
Горизонтальная асимптота: y = -1.
12. Рисунок с графиками исследования - в приложении.
Даны координаты вершин пирамиды:
A(4, 4, -10) ; B(4, 10, 2) ; C(2, 8, 4) ; D(9, 6, 4).
4) Находим векторы АВ и АС.
АВ = (0;6; 12), АС = (-2; 4; 14).
Их векторное произведение равно.
i j k | i j
0 6 12 | 0 6
-2 4 14 | -2 4 = 84i - 21j +0k - 0j - 4+ 12k = 36i - 24j + 12k.
Нормальный вектор к плоскости АВС равен (36; -24; 12).
Площадь АВС равна половине модуля векторного произведения:
S = (1/2)*√(1296 + 576 + 144) = √2016/2 = 6√14 ≈ 22,45 кв.ед.
Направляющий вектор высоты DH равен нормальному вектору плоскости АВС, то есть (36; -24; 12), или сокращённый на 12:
DH: (3; -2; 1).
Отсюда получаем уравнение DH с учётом координат точки D:(9; 6; 4).
DH: (x - 9)/3 = (y - 6)/(-2) = (z - 4)/1.
Уравнение плоскости АВС найдём по точке А и нормальному вектору DH: A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0
Если теперь в уравнении раскрыть скобки и привести подобные члены, получим общее уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0 ,
где D = −Ax0 − By0 − Cz0, A = 3, B = -2, C = 1, точка A(4, 4, -10).
Найдём значение D:
D = -3*4 - (-2)*4 - 1*(-10) = -12 + 8 + 10 = 6.
Уравнение АВС: 3x - 2y + z + 6 = 0.
Определяем вектор AD:(9 - 4 = 5; 6 - 4 = 2; 4 - (-10) = 14) = (5; 2; 14).
Теперь находим угол между AD и АВС.
угол между этой прямой и плоскостью
sin φ = | A · l + B · m + C · n |
√(A² + B² + C²) · √(l² + m² + n²)
A = 3, B = -2, C = 1 (5; 2; 14)
sin φ = (3*5 + (-2)*2 + 1*14)/(√(3² +(-2)² + 1²) · √(5² + 2² + 14²) =
= (15 - 4 + 14)/(√(9 +4 + 1) · √(25 + 4 + 196) = 0,4454.
Угол fi = 0,4617 радиан или 26,4512 градуса.
5) Уравнение DH определено выше:
DH: (x - 9)/3 = (y - 6)/(-2) = (z - 4)/1.
6) Уравнение DH представим в параметрическом виде.
(x - 9)/3 = (y - 6)/(-2) = (z - 4)/1 = t
x = 3t + 9,
y = -2t + 6,
z = t + 4.
И подставим в уравнение АВС.
9t + 27 + 4t - 12 + t + 4 + 6 = 0.
14t + 25 = 0/
t = -25/14.
Получаем координаты точки пересечения DH с плоскостью АВС.
x = 3*(-25/14) + 9 = 51/14 ≈ 3,643 .
y = -2*(-25/14)+ 6 = 134/14 ≈ 9,571.
z = (-25/14) + 4 = 31/14 ≈ 2,214.
Длину DH можно получить двумя
- по разности координат точек D и H,
- по формуле H = 3V/S(ABC).
Объём равен (1/6) смешанного произведения (АВ х АС) * AD.
АВ x AC= (36; -24; 12), AD = (5; 2; 14).
V = (1/6)*(180 - 48 + 168) = (1/6)*300 = 50 куб.ед.
Тогда DH = (3*50)/6√14 = 25√14/14 ≈ 3,528.