Если многочлен P(x) разделить на двучлен x - a, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при x = a, т. е. R = P(a).
Рассмотрим первый многочлен
x³+4x²-9x-36
Если остаток нулевой, то x=a будет корнем
Для поиска корней, воспользуемся следствием из этой теоремы, то что любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. (±1, ±2, ±3, ±4, ±6 и т.д.)
Составим схему
Вкратце об этой схеме: в верхней строке выписывваете коэффициенты, начиная со старшей степени x, в левой колонке вписываете предполагаемый корень. Первые два корня опущу (они не подходят, можете проверить на этой схеме). Далее первый коэффициент просто переписываете, следующий коэфф-т получается умножением корня на предыдущий коэфф-т(в той же строчке, что и сам корень) и сложением с коэфф-том в верхней строчки, т.е.
3*1+4 = 7
3*7+(-9) = 12
3*12-36 = 0, т.е. 3 - это корень.
|_1__|__4__|__-9__|__-36__|
3 | 1 | 7 | 12 | 0 |
Получили x³+4x²-9x-36 = (x-3)(x²+7x+12)
корни квадратного трехчлена, можно найти также по схеме или же продолжить искать корни в той же схеме
(x^3+4x^2-9x-36)/(x^3+2x^2-11x-12)
Разложим числитель на множители:
x^3+4x^2-9x-36= (x^3+4x^2)-(9x+36)=x^2(x+4)-9(x+4)=(x^2-9)(x+4)=(x-3)(x+3)(x+4)
Разложим знаменатель на множители:
x^3+2x^2-11x-12
Попробуем подобрать число, при подстановке которого наше выражение равно нулю. Первое такое число "-1". Разделим наш знаменатель на х+1:
x^3+2x^2-11x-12 | x+1
x^3 +x^2 x^2+x-12
x^2 -11x
x^2 + x
-12x-12
-12x-12
0
Мы получили квадратное уравнение х^2+x-12,
корнями которого будут числа "3" и "-4".
Итак, x^3+2x^2-11x-12=(х+1)(х-3)(х+4)
Наша дробь примет вид (x-3)(x+3)(x+4)/(х+1)(х-3)(х+4)=(х+3)/(х+1)
Вспомним саму теорему:
Если многочлен P(x) разделить на двучлен x - a, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при x = a, т. е. R = P(a).
Рассмотрим первый многочлен
x³+4x²-9x-36
Если остаток нулевой, то x=a будет корнем
Для поиска корней, воспользуемся следствием из этой теоремы, то что любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. (±1, ±2, ±3, ±4, ±6 и т.д.)
Составим схему
Вкратце об этой схеме: в верхней строке выписывваете коэффициенты, начиная со старшей степени x, в левой колонке вписываете предполагаемый корень. Первые два корня опущу (они не подходят, можете проверить на этой схеме). Далее первый коэффициент просто переписываете, следующий коэфф-т получается умножением корня на предыдущий коэфф-т(в той же строчке, что и сам корень) и сложением с коэфф-том в верхней строчки, т.е.
3*1+4 = 7
3*7+(-9) = 12
3*12-36 = 0, т.е. 3 - это корень.
|_1__|__4__|__-9__|__-36__|
3 | 1 | 7 | 12 | 0 |
Получили x³+4x²-9x-36 = (x-3)(x²+7x+12)
корни квадратного трехчлена, можно найти также по схеме или же продолжить искать корни в той же схеме
___|_1_|_7_|_12_|
-3 | 1 | 4 | 0
(x²+7x+12) = (x-3)(x-4)
x³+4x²-9x-36 = (x-3)(x+3)(x-4)
Второй многочлен
x³+2x²-11x-12 (±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12)
Если дробь сокращается, то корни должны совпадать
|_1_|_2_|_-11_|_-12_|
3 | 1 | 5 | 4 | 0 |
x³+2x²-11x-12 = (x-3)(x²+5x+4)
|_1_|_5_|_4_|
-1 | 1 | 4 | 0 |
x³+2x²-11x-12 = (x-3)(x-1)(x-4)