Метод интервалов – простой решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной. Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида . Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.Эти точки разбивают ось на N промежутков.Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».
Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида . Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.Эти точки разбивают ось на N промежутков.Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».
3a^2+5ab=19+2b^2
a, b > 0 a,b ∈ N
разложим 3a^2+5ab=2b^2
3a^2+5ab -2b^2 = 0
D = (5b)^2 + 4*3*2b^2 = 25b^2 + 24b^2 = 49b^2
a12 = (-5b +- 7b)/6 = -2b 1/3b
3a^2+5ab -2b^2 = (a - 1/3b)(a + 2b) = (3a - b)(a + 2b)
получили
(3a - b)(a + 2b) = 19
19 простое делится на +- 1 и +- 19
значит и множители могут быть только целыми в левой части
19 = 1*19 = (-1) * (-19)
получаем системы
1. 3a - b = -1
a + 2b = -19 нет a, b > 0
2. 3a - b = -19
a + 2b = -1 нет a, b > 0
3. 3a - b = 1
a + 2b = 19
4. 3a - b = 19
a + 2b = 1 нет a, b > 0
решаем только одну систему
3a - b = 1
a + 2b = 19
--
b = 3a - 1
a + 2(3a - 1) = 19
a + 6a -2 = 19
7a = 21
a = 3
b = 3a - 1 = 3*3 - 1 = 8
ответ (3, 8)