Теплохід проходить за 3 год за течією і 2 год проти течії 142 км. Цей самий теплохід за 4 год проти течії проходить на 14 км більше, ніж за 3 год за течією. Знайти власну швидкість теплохода і швидкість течії.

Уравнения называются равносильными, если множества их корней одинаковы или если эти уравнения не имеют корней.

Свойства уравнений:

Если к обеим частям уравнения прибавить одинаковое число, то получится уравнение, равносильное данному.Если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

Найдем корни уравнения:

5х - 4 = 6

5х = 10

х = 10 : 5

х = 2

Этому уравнению равносильно, например, уравнение

4 - 2х = 0, так как корнем этого уравнения так же является число 2.

Область определения - это промежутки значений, которые может принимать переменная.

Область значений - это промежутки значений, которые может принимать функция.

а) y = √(35 + 2x - x^2)

Область определения

-x^2 + 2x + 35 >= 0

(7 - x)(5 + x) >= 0

Область определения: D(x) = [-5; 7]

При x = -5 и x = 7 будет y = 0. Максимум параболы будет в вершине,

при x0 = -b/(2a) = -2/(-2) = 1 будет y(x0) = √(35+2-1) = √36 = 6

Область значений: E(y) = [0; 6]

б) y = (2x^2 - 4x - 1)^(1/6)

Область определения

2x^2 - 4x - 1 >= 0

D = 4^2 - 4*2(-1) = 16 + 8 = 24 = (2√6)^2

x1 = (4 - 2√6)/4 = (2 - √6)/2; x2 = (2 + √6)/2

Область определения: D(x) = (-oo; (2 - √6)/2] U [(2 + √6)/2; +oo)

В точках x1 и x2 значение функции y(x1) = y(x2) = 0, верхнего предела у аргумента и у значения нет.

Область значений: E(y) = [0; +oo)

в) y = (12 - 2x - x^2)^(1/4)

Область определения

-x^2 - 2x + 12 >= 0

D = 2^2 - 4(-1)*12 = 4 + 48 = 52 = (2√13)^2

x1 = (2 - 2√13)/(-2) = -1 + √13; x2 = -1 - √13

Область определения: D(x) = [-1 - √13; -1 + √13]

При x1 и x2 будет y(x1) = y(x2) = 0. Максимум параболы будет в вершине,

при x0 = -b/(2a) = 2/(-2) = -1 будет y(x0) = (-1 + 2 + 12)^(1/4) = 13^(1/4)

Область значений: E(y) = [0; 13^(1/4)]

г) y = (x^2 + 2x + 3)^(1/8)

Область определения

x^2 + 2x + 3 >= 0

D = 2^2 - 4*1*3 = 4 - 12 = -8 < 0

Этот трехчлен принимает положительные значения при любом x.

Поэтому область определения: D(x) = (-oo; +oo)

Минимум параболы будет в вершине, при x0 = -b/(2a) = -2/2 = -1 будет

y(x0) = (1 - 2 + 3)^(1/8) = 2^(1/8). Верхнего предела у аргумента и у значения нет.

Область значений: E(y) = [2^(1/8); +oo)