Три числа составляют прогрессию. если от третьего отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию. если же от второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии отнять по 1, то снова получится прогрессия. найти эти числа.

Показать ответ

Ответ:

Filindenis

25.05.2020 14:11

По условию
Геометрическая прогрессия : b₁ , b₂ , b₃ (1)
Арифметическая прогрессия : b₁ , b₂ , b₃-4 (2)
Геометрическая прогрессия :    b₁ , b₂-1 , b₃-5 (3)

Для членов геометрической прогрессии справедливо среднее геометрическое : $b^2_n=b_{n-1}*b_{n+1}$
Для членов арифметической прогрессии справедливо среднее арифметическое : $a_n= \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$   ⇔ $2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$

Тогда по условию можно составить систему из трёх уравнений с тремя неизвестными
1) b₂² = b₁*b₃
2) 2b₂ = b₁ + b₃ - 4 ⇔ b₃ = 2b₂ - b₁ + 4
3) (b₂-1)² = b₁*(b₃ - 5)

Третье уравнение упростить
b₂² -2b₂ + 1 = b₁*b₃ - 5b₁ Подставить из первого уравнения b₁*b₃
b₂² -2b₂ + 1 = b₂² - 5b₁
-2b₂ + 1 = - 5b₁ ⇔ 5b₁ = 2b₂ - 1 ⇔ b₁ = 0,4b₂ - 0,2
Подставить полученное b₁ во второе уравнение
b₃ = 2b₂ - b₁ + 4 = 2b₂ - (0,4b₂ - 0,2) + 4 = 2b₂ - 0,4b₂ + 0,2 + 4
b₃ = 1,6b₂ + 4,2
Подставить b₁ и b₃ в первое уравнение
b₂² = b₁*b₃
b₂² = (0,4b₂ - 0,2)*(1,6b₂ + 4,2)
b₂² = 0,64b₂² - 0,32b₂ + 1,68b₂ - 0,84
0,36b₂² -1,36b₂ + 0,84 = 0 | * 25
9b₂² - 34 b₂ + 21 = 0
D/4 = (34/2)² - 9*21 = 289 - 189 = 100 = 10²
a) b₂' = (34/2 - 10)/9 = 7/9 ⇒
b₁' = 0,4b₂ - 0,2 = 0,4*(7/9) - 0,2 = 1/9;
b₃' = 1,6b₂ + 4,2 = 1,6*(7/9) + 4,2 = 49/9
b) b₂" = (34/2 + 10)/9 = 3
b₁" = 0,4b₂ - 0,2 = 0,4*3 - 0,2 = 1
b₃" = 1,6b₂ + 4,2 = 1,6 * 3 + 4,2 = 9
--------------------------------------------------------
Проверка - вариант а)
Геометрическая прогрессия $\frac{1}{9} ; \frac{7}{9} ; \frac{49}{9}$ со знаменателем q = 7
Арифметическая прогрессия $\frac{1}{9} ; \frac{7}{9} ; \frac{13}{9}$ с разностью $d = \frac{6}{9}$
Геометрическая прогрессия $\frac{1}{9} ; -\frac{2}{9} ; \frac{4}{9}$ со знаменателем q = -2

Проверка - вариант b)
Геометрическая прогрессия 1; 3; 9    со знаменателем q = 3
Арифметическая прогрессия 1; 3; 5 с разностью d = 2
Геометрическая прогрессия 1; 2; 4 со знаменателем q = 2

ответ: числа $\frac{1}{9} ; \frac{7}{9} ; \frac{49}{9}$ или 1; 3; 9

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра