y = x² + 6x – a -- парабола, ветви направлены вверх (коэффициент при x² положительный). Условие x² + 6x – a > 0 означает, что парабола не пересекает ось OX, то есть уравнение y = x² + 6x – a не имеет действительных корней, что соответствует отрицательному значению дискриминанта.
D = 6² + 4a = 36 + 4a < 0
a < –9
ответ: неравенство x² + 6x – a > 0 выполняется для всех x при a < –9.
2) –x² – 7x + 2 – a < 0
y = –x² – 7x + 2 – a -- парабола, ветви направлены вниз (коэффициент при x² отрицательный). Условие –x² – 7x + 2 – a < 0 означает, что парабола не пересекает ось OX, то есть уравнение y = –x² – 7x + 2 – a не имеет действительных корней, что соответствует отрицательному значению дискриминанта.
D = (–7)² + 4(2 – a) = 57 – 4a < 0
a > 57/4
ответ: неравенство –x² – 7x + 2 – a < 0 выполняется для всех x при a > 57/4.
3) (a – 1)x² + ax + a + 2 ≤ 0
Чтобы (a – 1)x² + ax + a + 2 ≤ 0 могло выполняться при всех x, уравнение y = (a – 1)x² + ax + a + 2 должно задавать параболу, причем ее ветви должны быть направлены вниз, т.е. a – 1 < 0 ⇔ a < 1 (запомним это). Кроме того, парабола не должна пересекать ось OX, но может касаться ее, что соответствует отрицательному или нулевому значению дискриминанта.
D = a² – 4(a – 1)(a + 2) = –3a² – 4a + 8 ≤ 0
Решим квадратное уравнение –3a² – 4a + 8 = 0
D₁ = (–4)² + 4·3·8 = 112
a₁ = (4 – √112) / (–6) = (–2 + 2√7) / 3
a₂ = (4 + √112) / (–6) = (–2 – 2√7) / 3
Уравнение y = –3x² – 4x + 8 -- парабола, ветви направлены вниз, поэтому неравенство –3a² – 4a + 8 ≤ 0 верно при a ≤ (–2 – 2√7) / 3 или a ≥ (–2 + 2√7) / 3.
Совмещая это с ограничением a < 1, полученным в начале решения, имеем: a ≤ (–2 – 2√7) / 3.
ответ: неравенство (a – 1)x² + ax + a + 2 ≤ 0 выполняется для всех x при a ≤ (–2 – 2√7) / 3.
11п/9 = п+(2п/9), п<11п/9, 11п/9 < (3п/2), <=> 11/9<3/2 <=> 11*2 < 3*9 <=> 22< 27, истина. т.о. 11п/9 принадлежит третьей четверти, в которой синус отрицателен, т.е. sin(11п/9) < 0. 3,14<п<3,15. 3,14*(3/2)<(3п/2)<3,15*(3/2)=4,725<5, 5<6,28=2*3,14<2п<2*3,15. (3п/2)<5<2п. Угол в 5 (радиан) принадлежит четвертой четверти, в которой косинус положителен, поэтому cos(5)>0. (3п/2)=1,5п<1,6п<2п. Угол 1,6п принадлежит четвертой четверти, в которой tg отрицателен, т.е. tg(1,6п) <0. ответ. в).
1) x² + 6x – a > 0
y = x² + 6x – a -- парабола, ветви направлены вверх (коэффициент при x² положительный). Условие x² + 6x – a > 0 означает, что парабола не пересекает ось OX, то есть уравнение y = x² + 6x – a не имеет действительных корней, что соответствует отрицательному значению дискриминанта.
D = 6² + 4a = 36 + 4a < 0
a < –9
ответ: неравенство x² + 6x – a > 0 выполняется для всех x при a < –9.
2) –x² – 7x + 2 – a < 0
y = –x² – 7x + 2 – a -- парабола, ветви направлены вниз (коэффициент при x² отрицательный). Условие –x² – 7x + 2 – a < 0 означает, что парабола не пересекает ось OX, то есть уравнение y = –x² – 7x + 2 – a не имеет действительных корней, что соответствует отрицательному значению дискриминанта.
D = (–7)² + 4(2 – a) = 57 – 4a < 0
a > 57/4
ответ: неравенство –x² – 7x + 2 – a < 0 выполняется для всех x при a > 57/4.
3) (a – 1)x² + ax + a + 2 ≤ 0
Чтобы (a – 1)x² + ax + a + 2 ≤ 0 могло выполняться при всех x, уравнение y = (a – 1)x² + ax + a + 2 должно задавать параболу, причем ее ветви должны быть направлены вниз, т.е. a – 1 < 0 ⇔ a < 1 (запомним это). Кроме того, парабола не должна пересекать ось OX, но может касаться ее, что соответствует отрицательному или нулевому значению дискриминанта.
D = a² – 4(a – 1)(a + 2) = –3a² – 4a + 8 ≤ 0
Решим квадратное уравнение –3a² – 4a + 8 = 0
D₁ = (–4)² + 4·3·8 = 112
a₁ = (4 – √112) / (–6) = (–2 + 2√7) / 3
a₂ = (4 + √112) / (–6) = (–2 – 2√7) / 3
Уравнение y = –3x² – 4x + 8 -- парабола, ветви направлены вниз, поэтому неравенство –3a² – 4a + 8 ≤ 0 верно при a ≤ (–2 – 2√7) / 3 или a ≥ (–2 + 2√7) / 3.
Совмещая это с ограничением a < 1, полученным в начале решения, имеем: a ≤ (–2 – 2√7) / 3.
ответ: неравенство (a – 1)x² + ax + a + 2 ≤ 0 выполняется для всех x при a ≤ (–2 – 2√7) / 3.
п<11п/9,
11п/9 < (3п/2), <=> 11/9<3/2 <=> 11*2 < 3*9 <=> 22< 27, истина.
т.о. 11п/9 принадлежит третьей четверти, в которой синус отрицателен, т.е. sin(11п/9) < 0.
3,14<п<3,15.
3,14*(3/2)<(3п/2)<3,15*(3/2)=4,725<5,
5<6,28=2*3,14<2п<2*3,15.
(3п/2)<5<2п.
Угол в 5 (радиан) принадлежит четвертой четверти, в которой косинус положителен, поэтому cos(5)>0.
(3п/2)=1,5п<1,6п<2п.
Угол 1,6п принадлежит четвертой четверти, в которой tg отрицателен, т.е. tg(1,6п) <0.
ответ. в).