Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.
Подставляем в формулу (1) значения: K=10K=10, N−K=8N−K=8, итого N=10+8=18N=10+8=18, выбираем n=5n=5 шаров, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=5−2=3n−k=5−2=3 черных. Получаем:
Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?
Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.
Подставляем в формулу (1) значения: K=5K=5 (белых шаров), N−K=5N−K=5 (красных шаров), итого N=5+5=10N=5+5=10 (всего шаров в урне), выбираем n=2n=2 шара, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=2−2=0n−k=2−2=0 красных. Получаем:
1Гипербола так же, как и другие кривые может быть построена двумя Первый из них заключается в построении по прямоугольнику, а второй - по графику функции f(x)=k/x. Начинать строить гиперболу следует с построения прямоугольника с концами по оси x, именуемыми A1 и A2, и с противоположными концами по оси y, именуемыми B1 и B2. Проведите прямоугольник через центр координат, как показано на рисунке 1. Стороны должны быть параллельны и равны по величине как A1A2, так и B1B2. Через центр прямоугольника, т.е. начало координат, проведите две диагонали. Прочертив эти диагонали, вы получите две прямые, являющиеся асимптотами графика. Постройте одну ветвь гиперболы, а затем, аналогичным образом, и противоположную. Функция является возрастающей на промежутке [a;∞]. Поэтому ее асимптотами будут: y=bx/a; y=-bx/a. Уравнение гиперболы примет вид: y =b/a √ x^2 -a^22Если вместо прямоугольника использовать квадрат, получится равнобочная гипербола, как на рисунке 2. Ее каноническое уравнение имеет вид: x^2-y^2=a^2 У равнобочной гиперболы асимптоты перпендикулярны друг другу. Кроме того, между y и x имеется пропорциональная зависимость, заключающаяся в том, что если x уменьшить в заданное число раз, то y увеличится во столько же раз, и наоборот. Поэтому, по-другому уравнение гиперболы записывается в виде: y=k/x3Если в условии дана функция f(x)=k/x, то целесообразнее строить гиперболу по точкам. Учитывая, что k - величина постоянная, а знаменатель x≠0, можно придти к выводу, что график функции не проходит через начало координат. Соответственно, интервалы функции равны (-∞;0) и (0;∞), так как при обращении x в ноль функция теряет смысл. При увеличении x функция f(x) убывает, а при уменьшении возрастает. При приближении x к нулю соблюдается условие y→∞. График функции показан на основном рисунке.4Для построения гиперболы методом расчета удобно использовать калькулятор. Если он работать по программе или хотя бы запоминать формулы, можно заставить его осуществить расчет несколько раз (по числу точек), не набирая выражение каждый раз заново. Еще удобнее в этом смысле графический калькулятор, который возьмет на себя, помимо расчета, и построение графика.
Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.
Подставляем в формулу (1) значения: K=10K=10, N−K=8N−K=8, итого N=10+8=18N=10+8=18, выбираем n=5n=5 шаров, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=5−2=3n−k=5−2=3 черных. Получаем:
P=C210⋅C38C518=45⋅568568=517=0.294.P=C102⋅C83C185=45⋅568568=517=0.294.
Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?
Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.
Подставляем в формулу (1) значения: K=5K=5 (белых шаров), N−K=5N−K=5 (красных шаров), итого N=5+5=10N=5+5=10 (всего шаров в урне), выбираем n=2n=2 шара, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=2−2=0n−k=2−2=0 красных. Получаем:
P=C25⋅C05C210=10⋅145=29=0.222.P=C52⋅C50C102=10⋅145=29=0.222.
Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?
Здесь задача немного усложняется, и решим мы ее по шагам. Введем искомое событие
A=A= (Выбранные шары одного цвета) = (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара).
Представим это событие как сумму двух несовместных событий: A=A1+A2A=A1+A2, где
A1=A1= (Выбраны 2 белых шара),
Начинать строить гиперболу следует с построения прямоугольника с концами по оси x, именуемыми A1 и A2, и с противоположными концами по оси y, именуемыми B1 и B2. Проведите прямоугольник через центр координат, как показано на рисунке 1. Стороны должны быть параллельны и равны по величине как A1A2, так и B1B2. Через центр прямоугольника, т.е. начало координат, проведите две диагонали. Прочертив эти диагонали, вы получите две прямые, являющиеся асимптотами графика. Постройте одну ветвь гиперболы, а затем, аналогичным образом, и противоположную. Функция является возрастающей на промежутке [a;∞]. Поэтому ее асимптотами будут: y=bx/a; y=-bx/a. Уравнение гиперболы примет вид:
y =b/a √ x^2 -a^22Если вместо прямоугольника использовать квадрат, получится равнобочная гипербола, как на рисунке 2. Ее каноническое уравнение имеет вид:
x^2-y^2=a^2
У равнобочной гиперболы асимптоты перпендикулярны друг другу. Кроме того, между y и x имеется пропорциональная зависимость, заключающаяся в том, что если x уменьшить в заданное число раз, то y увеличится во столько же раз, и наоборот. Поэтому, по-другому уравнение гиперболы записывается в виде:
y=k/x3Если в условии дана функция f(x)=k/x, то целесообразнее строить гиперболу по точкам. Учитывая, что k - величина постоянная, а знаменатель x≠0, можно придти к выводу, что график функции не проходит через начало координат. Соответственно, интервалы функции равны (-∞;0) и (0;∞), так как при обращении x в ноль функция теряет смысл. При увеличении x функция f(x) убывает, а при уменьшении возрастает. При приближении x к нулю соблюдается условие y→∞. График функции показан на основном рисунке.4Для построения гиперболы методом расчета удобно использовать калькулятор. Если он работать по программе или хотя бы запоминать формулы, можно заставить его осуществить расчет несколько раз (по числу точек), не набирая выражение каждый раз заново. Еще удобнее в этом смысле графический калькулятор, который возьмет на себя, помимо расчета, и построение графика.