Можно эту задачу решить с уравнения: Пусть х (км/ч)-собственная скорость лодки, тогда х-3 (км/ч) -скорость лодки против течения реки; х+3 (км/ч)-скорость лодки по течению реки; 4(х-3) (км)-расстояние, которое лодка проплыла против течения реки; 6(х+3) (км)-расстояние, которое проплыла лодка по течению реки; 4(х-3)+6(х+3) (км)-расстояние, которое проплыла лодка. Т.к. всего лодкой пройдено расстояние 126км, то составим и решим уравнение: 4(х-3)+6(х+3)=126 4х-12+6х+18=126 10х+6=126 10х=126-6 10х=120 х=120:10 х=12 ответ: 12 км/ч.
Перенумеруем все города. Для городов i, j направим дорогу из города с меньшим номером в город с большим номером. Тогда при проезде по дорогам мы всегда приезжаем в города с большими номерами, и обратно не возвращаемся.
Из города 1 можно добраться до всех, а из n нельзя выехать. Единственный путь, проходящий все города -- это 1-2-...-n.
Теперь надо показать, что такая конструкция всего одна с точностью до перенумерации городов. Из этого будет следовать, что её осуществить ровно n!.
Для начала можно доказать, что имеется город, из которого нельзя выехать. В противном случае мы можем бесконечно долго путешествовать, и какие-то посещаемые города при этом повторятся. Это значит, что основное условие нарушается. Городу с таким свойством присвоим значение n. Он всего один, так как из остальных городов идут стрелки в n.
Далее применяем индукцию, отбрасывая город n и стрелки в него. Для оставшихся городов формируется (по предположению) единственная нумерация 1,2,...,n-1 такая, что из i в j идёт стрелка <=> i < j. Поскольку n больше всех остальных чисел, после возвращения n-го города на место всё сохранится.
Можно и без индукции. Для каждого города рассмотрим путь максимальной длины по стрелкам, оканчивающийся в данном городе. Длину такого пути ему и сопоставим. Значения могут приниматься от 0 до n-1. При этом они не повторяются: если для двух городов значения равны k, то из одного из них попадаем по ребру в другой, что увеличивает длину до k+1. Таким образом, все значения используются ровно по разу. Увеличивая их на 1, имеем описанную выше нумерацию. Ясно также, что ребро всегда идёт из i в j только при i < j.
.
Объяснение:
0
Перенумеруем все города. Для городов i, j направим дорогу из города с меньшим номером в город с большим номером. Тогда при проезде по дорогам мы всегда приезжаем в города с большими номерами, и обратно не возвращаемся.
Из города 1 можно добраться до всех, а из n нельзя выехать. Единственный путь, проходящий все города -- это 1-2-...-n.
Теперь надо показать, что такая конструкция всего одна с точностью до перенумерации городов. Из этого будет следовать, что её осуществить ровно n!.
Для начала можно доказать, что имеется город, из которого нельзя выехать. В противном случае мы можем бесконечно долго путешествовать, и какие-то посещаемые города при этом повторятся. Это значит, что основное условие нарушается. Городу с таким свойством присвоим значение n. Он всего один, так как из остальных городов идут стрелки в n.
Далее применяем индукцию, отбрасывая город n и стрелки в него. Для оставшихся городов формируется (по предположению) единственная нумерация 1,2,...,n-1 такая, что из i в j идёт стрелка <=> i < j. Поскольку n больше всех остальных чисел, после возвращения n-го города на место всё сохранится.
Можно и без индукции. Для каждого города рассмотрим путь максимальной длины по стрелкам, оканчивающийся в данном городе. Длину такого пути ему и сопоставим. Значения могут приниматься от 0 до n-1. При этом они не повторяются: если для двух городов значения равны k, то из одного из них попадаем по ребру в другой, что увеличивает длину до k+1. Таким образом, все значения используются ровно по разу. Увеличивая их на 1, имеем описанную выше нумерацию. Ясно также, что ребро всегда идёт из i в j только при i < j.